- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
Th. Фун-я f(x) непр-а на отр. [a,b] явл. ограниченной.
Пусть f(x) неогр.
xn[a,b]: |f(xn)|>n
x1,x2,…,xn,… [a,b]
xn→c[a,b]
из опр2. –огранич. {}
||>nk-это против-т=> ф-ция огран.
f(x) [a,b) непрерывна ограничена
{f(x): x[a,b]} имеет точную верхнюю
точную нижнюю грань
M=supU, -верхняя грань
m=inf U, -нижняя грань
Th. f(x) непр. [a,b) достигает точных верхней и нижней граней.
с: f(c)=M; d: f(d)=m;
Д-во:
Пусть M т.в.г. f(x)<M
x[a,b]
M-f(x)>0
g(x) непр. на [a,b]
g(x)≤N x[a,b]
Значит не может быть наименьшей нижней гранью
M=supU
Значит ф-ция непрерывна на [a,b] им. макс. и мин. знач-е.
Th. Пусть ф-ция f(x) возр. на отр. [a,b]
Необ-о и дост-о, чтобы ф-ция была непр-на, надо чтобы ф-ция совпад. с отр. [f(a), f(b)]
1) f(x) непр. [a,b]
p[f(a),f(b)] след. из теор. о пром-х знач-х.
2) Пусть мн-во знач. f(x) совп.
[f(a),f(b)]
f(x) непр. в т.С(a,b)
Возьмем >0, <min{f(c)-f(a), f(b)-f(c)}
Сущ-т такие знач-я p,q[a,b]:f(p)=f(c)-,
f(q)=f(c)+,
т.к. f(p)<f(c)=>p<c c<q
=min{q-c,c-p}
|x-c|<
|f(x)-f(c)|<
9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
Th. Все элем-е ф-ции непрерывны в области опред-я.
Прокол-я окр-ть т.а
(a-,a)(a,a+)
Опр1. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.a если ф-ция непрерывна в т.а
A=-предел A.
Опр2. Число А назыв-ся пределом f(x) в т.а
xn: xn→a, xn≠a
f(xn)→A
- предел функции
Предл1. Если f(x) и g(x) имеют предел в т.а, то
Предл2.
Предл3.
Опр3.
Число A называется пределом f(x) при x a, при >0 >0 x(a-,a) (a,a+): |f(x)-A|<
Опр. Пусть задана ф-ция f(x), xX, и x0R.
Точка а наз-ся пределом ф-ции f слева при x→x0 (соответственно справа), если она является пределом при x→x0 ф-ции f по мн-ву X-(x0) (соответственно по мн-ву X+(x0)), т.е. если
В силу этого определения предел причисляется к пределам слева, а- к пределам справа.
Для пределов справа и слева сужения ф-ции f на мн-ве X\ {x0}, т.е. для случая, когда предел берется по множеству, не содержащему точки x0, имеются спец-е обознач-я: для предела слева f(x0-0) и , а для предела справаf(x0+0) и . При этом в случаеx:=0 вместо 0+0 и 0-0 пишут +0 и -0, а в случае x0=+ (соответственно x0= -) вместо +-0 (-+0) пишут просто + (соответственно -).
Лемма. Пусть ф-ция f задана на мн-ве X,X1X,X2X, и x0 явл-ся точкой прикосновения мн-в X1 и X2. Тогда, если при x→x0 ф-ция f имеет равные пределы по мн-вам X1 и X2, то она имеет тот же предел и по их объединению.
Th. Ф-ция f(x), xX, им. предел в точке x0=supX-(x0)=infX+(x0), X-(x0), X+(x0), в том и только в том случае, когда в этой точке у ф-ции f сущ-т равные пределы слева и справа, причем общее значение этих пределов явл-ся пределом ф-ции f в точке x0.
Если у ф-ции f сущ-т предел в точке x0, то тот же предел сущ-т у этой ф-ции при x→x0 и по любому подмн-ву EX, в частнсти по мн-вам X-(x0) и X+(x0). Обратно, если у ф-ции f сущ-т равные пределы по мн-вам X-(x0) и X+(x0), то по лемме у нее сущ-т тот же предел и по их объединению, т.е. по мн-ву X=X-(x0)X+(x0)