Лекция №1.

§1. Множество вещественных чисел.

§1.1. Понятие вещественного числа и числовая ось.

1)Целые положительные числа(натуральные)-

2)Присоединив к натуральным числам 0 и целые отрицательные числа, получаем множество целых чисел-

3)Присоединив к множеству целых чисел дробные, получаем множество рациональных чисел -.Каждое рациональное число имеет вид, где. Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.

4)Все остальные числа иррациональные(бесконечные непериодические дроби)-

(множество вещественных или действительных чисел)

§1.2. Граница числовых множеств.

Определение 1.Числоназывается верхней(нижней) границей множестваA, если для любого элемента выполняется.

Определение 2.Множество называется ограниченным сверху(снизу), если оно имеет верхнюю(нижнюю) границу. Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 3.Наименьшее из верхних границ числового множества называется супремумом множестваA(supA). Наибольшее из нижних границ числового множестваAназывается инфимуом(infA).Супремум и инфиум называют так же точный верхний и точный нижней границами множества. Они являются обобщением наибольшего и наименьшего элемента.

Свойства точных границ числового множества:

Свойство 1. Критерии sup и inf . Для того чтобы b было точной верхней(нижней) границей числового множества А необходимо и достаточно, чтобы:

1)число b было верхней(нижней) границей числового множества А.

2)

Свойство 2. Основная теорема теории вещественных чисел: всякое ограниченное сверху (снизу) множество А имеет точную верхнюю(нижнюю) границу ().

Свойство 3.Для любого непустого множества А выполняетсяinfA<supA.

§1.3. Абсолютная величина числа.

Определение. Абсолютной величиной или модулем числа называется число равное самому, еслии равное, если.

Свойство абсолютной величины:

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

§1.4. Числовая ось.

Определение. Числовой осью называется прямая с выбранным направлением, началом отсчета и единицей длины.

Каждой точке на этой прямой сопоставляется число равное расстоянию от начала отсчета и взятая со знаком + , если точка выбрана в выбранном направлении, и со знаком -,если точка выбрана в обратном направлении.

-расширенное множество действительных чисел.

Между множеством действительных чисел и числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Это значит, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и наоборот, каждая точка на числовой прямой обозначает какое-либо действительное число.

§2. Функции

§2.1. Понятие функции.

Определение. Если каждому элементу по закону или правилу сопоставляется один или несколько элементов, то говорят, что на множествезадана функция со значениями во множестве.

Для каждого элемента множество сопоставимых ему значенийобозначается.

Переменную называем аргументов функции или независимой переменной,- значением функции или независимой переменной.

Множество , на которой определена функция называется её областью определения, для-множеством значений функции.

Областью определения функции может быть любое множество области оси. Чаще всего рассматривают следующие случаи(области):

1. Множество целых неотрицательных чисел ().

2.Область определения состоит из одних или несколько интервалов(конечных или бесконечных) числовой оси.

Примеры:

Функции иназываются равными, если равны их области определения и для любогозначение функции совпадают.

Частный случай функции - это числовая плоскость . Здесь в роли аргумента идет номер члена последовательности (1,2,3,4…),.

Пример:

Способы задания функции:

1.Табличный.

2. Аналитический (т.е. с помощью формулы).

3. Графический.