- •1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
- •2. Сумма и разность непрерывных функций.
- •3. Произведение и частное непрерывных функций
- •4. Суперпозиция непрерывных функций.
- •5.Непрерывность обратной функции.
- •6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
- •8. Точные грани значений функции, непрерывной на отрезке.
- •9. Предел функции. Левый и правый пределы. Различные определения.
- •10. Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Переход к пределу в неравенствах.
- •11. Предел сложной функции.
- •12. Первый замечательный предел.
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших.
- •15. Пределы степенно-показательных функций.
- •16. Рациональные, алгебраические, трансцендентные, элементарные функции. Гиперболические функции.
- •17. Дифференцируемость функции. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •18. Геометрический смысл производной. Касательная.
- •19. Операции над дифференцируемыми функциями.
- •20. Дифференциал. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •21. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
- •22. Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы второго дифференциала.
- •23. Производные функций, заданных параметрически.
- •24. Возрастание и убывание в точке дифференцируемой функции. Теорема Ферма.
- •25. Теорема Ролля.
- •26. Формула Лагранжа и следствия из нее.
- •27. Формула Коши.
1. Критерий непрерывности функции в точке через последовательности.
Опр1. f(x) называется непрерывной в точке а, если >0 >0: |f(x)-f(а)|< при |х-а|<.
Опр2. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x)=f(а)
Для каждого малого изменения аргумента, сколько угодно малое изменение функции.
Если функция непрерывна во всех точках множества D, то она непрерывна на множестве D.
Любая функция непрерывна в изолированной т. множества D.
Th1. Два данных определения непрерывности равносильны.
xn-a, xnD
f(xn)→f(a)
>0 >0: |x-a|<, xD=>|f(x)-f(a)|<
N n>N |xn-a|<,
|f(xn)-f(a)|<
f(xn)→f(a)
Th2. f(x) a (опр.2)
xn→a=>f(xn)→f(a)
Пусть функция f(x) не явл. непрерывной в см. 1.
0>0 не вып. >0
есть x для кот-го |x-a|<
|f(x)-f(a)|0
=1,
xn |xn-a|< |f(xn)-f(a)| 0=> xn→a
f(xn)f(a) получили противоречие
2. Сумма и разность непрерывных функций.
Пусть f(x), g(x) опр. на D.
aD если ф-ция непр-на в т., то сумма и разность также непрерывны.
xn→a
f(xn)→f(a), g(xn)→g(a)
f(xn)±g(xn)→f(a)±g(a)
Поскольку xn – произв-я, то мы получаем f±g – непр-ные в т.а
3. Произведение и частное непрерывных функций
1) Пусть f(x), g(x) опр. на D.
aD если ф-ция непр-на в т., то произведение также непрерывно.
xn→a
f(xn)→f(a), g(xn)→g(a)
f(xn)∙g(xn)→f(a)∙g(a)
Поскольку xn – произв-я, то мы получаем f∙g – непр-ные в т.а
2) f(x), g(x) – непр. в т.а, g(a)≠0, то функция непр-на в т.а
4. Суперпозиция непрерывных функций.
Пусть f(x)-непр-на в т.а,
g(y)-непр-на в т.f(a)
Малому изменению а соответ-т малое изм-е f(a)
f композ-я g непр. в а
g(f(x))-композиция
xn→a
f(xn)→f(a)
g(f(xn))→g(f(a))
5.Непрерывность обратной функции.
Th. Функция обратная непрерывной возрастающей функции также является непрерывной.
Пусть ф-ия y=f(x) определена строго монотонно и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У- множество её значений. Тогда на множестве У обратная ф-ия х=у) однозначно строго монотонна и непрерывна.
Равномерная непрерывность ф-ии.
Ф-ия f(x) наз. равномерно-непрерывной на промежутке Х, если >0 существует δ>0 такое чтоудовлетворяющих неравенству<δ выполняется неравенство
f(.
Теорема Кантора. Если ф-ия f(x) непрерывна на , то она и равномерно непрерывна на нём.
6. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
Th. Если функция f(x) непр. в т.а и f(a)≠0, то окрестность т.а в пределах которой функция ≠0 и сохраняет знак.
=>0
>0: |x-a|< |f(x)-f(a)|<=
f(x)<f(a)+
f(a)-<f(x)< f(a)+
f(a)>0
f(x)>f(a)-=
f(a)<0
f(x)<f(a)-=
f(x)=const непр-на => (-1)∙f(x)-непр., если f-непр.
f(a)-отр. –f(x)
7. Непрерывные функции и промежуточные значения.
Опр3. Пусть f(x)- ограниченна сверху (снизу) на X, то есть M (m) , x X: f(x) M (f(x) m) . Число М (m) называется верхней (нижней) гранью функции f(x) на множестве Х. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней ограниченной сверху (снизу) на X f(x) называется её точной верхней (точной нижней) гранью и обозначается f(x) (f(x)).
Эквивалентное определение. Число M (число m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие два требования: 1) для x X: f(x) M (f(x) m), 2) для > 0 x X, для которого справедливо неравенство
()
Опр1. f(x) a
>0 >0: |x-a|<=>|f(x)-f(a)|<
Опр2. f(x) a
xn→a=>f(xn)→f(a)
Th. О промеж-м значении.
Пусть функция f(x) непр. на отр. [a,b] и f(a)∙f(b)<0 Тогда
с[a,b]: f(c)=0
Д-во:
Пустьf(a)<0, f(b)>0
1. Если
a1:=a, b1:=
2. Если
a1:= , b1:=b
a2,b2,…..
[a,b]>[a1,b1]>…
bn-an=→0
{c}=[ai,bi]
f(c)=0
f(ai)<0
f(bi)>0
Пусть f(c)>0=>в нек. окр.
При дост-о большом i, f(ai)>0
f(c)=0
Следст. Пусть f(x) непр. на [a,b]
l находится м/у f(a), f(b)
тогда с[a,b]: f(c)=l
Расс-м фун-ю g(x)=f(x)-l непр. на отр. [a,b]
g(a)∙g(b)<0
g(c)=0 g(c)=f(c)-l=0 f(c)=l