24.Повторный интеграл ф-ции двух переменных определение основные св-ва

Теорема: Пусть ∀x₁ ∈ [a₁; b₁] → g(x₂) ∈ S_R[a₂; b₂]. Пусть также f(x₁; x₂) ∈ S_R(M) (то есть существует двойной интеграл).Тогда существует повторный интеграл

Повторный интегралпричём он равен двойному интегралу.

25. Связь между двойными и повторными интегралами

Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I:

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде

Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II:

то справедливо соотношение

Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний. 

26.замена переменной в двойном интеграле Для вычисления двойного интеграла   иногда удобнее перейти в другую систему координат.  Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции.  В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.  Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение   представляет собой так называемый якобиан преобразования  , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки   в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле  означает абсолютное значение соответствующего определителя. Предполагая, что преобразование координат   является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0.  Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

Найти образ S в новой системе координат   для исходной области интегрирования R;

Вычислить якобиан преобразования   и записать дифференциал в новых переменных ;

Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки   и  .

27. Криволинейный инт. 1го рода

Свойства:1. линейность 2. Аддитивность: если   в одной точке, то 3. Монотонность: если   на  , то 4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль   функции  : Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:  .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

ВычислениеПусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по  :  .

28Криволинейный инт. 2го рода Свойства:1. Линейность: 2. Аддитивност 3. Монотонность: если   на  , то 4. Оценка модуля: 5. Теорема о среднем: если   непрерывна на  , то  , такая что:  6.  ]ВычислениеПусть   — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция   определена и интегрируема вдоль кривой   в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда , , .

Если обозначить за   единичный вектор касательной к кривой  , то нетрудно показать, что

29.формула грина Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C.

Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка  . Тогда справедлива формула Грина где символ   указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки. Если  , то формула Грина принимает вид где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.  30. приложения двойного интеграла

Пусть в плоскости Oxy есть материальная пластинка, то есть некоторая область D, по которой распределена масса с плотностью μ(x, y). Тогда:

масса пластинки статические моменты относительно координатных осей: , 

координаты (x_c, y_c) центра масс пластинки: ,  момент инерции пластинкиотносительно оси O_y  относительно оси O_x  относительно начала координат 

приложения криволинейных интеграловРабота A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы 

 вычисляется по формуле

Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z) выражается интегралом

Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам: ,  ,  ,где m — масса кривой lМоменты инерции кривой l относительно координатных осей:

,  ,  ,Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть ,где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m0 — масса точкеи с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения