18)Вопрос: Градиент и производная по направлению функции 2-х переменных. Ответ:

Определение. Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т. (x₀,y₀) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x₀,y₀). Луч задается начальной точкой и направляющим единичным вектором , его параметрические уравнения имеют вид:

Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим функцию одной переменной u(t):

u = f(x₀ + t ^. cos   , y₀ + t ^. cos   ).

Если   существует, то эту производную   мы назовем производной функции u=f(x,y) в точке (x₀,y₀) в направлении вектора   (обозначение  ). Используя формулы для производных сложной функции, получаем (для точки t=0)

Если ввести в рассмотрение вектор   (обозначаемый gradu), то выражение для производной в направлении вектора  , можно записать в виде

 или 

Меняя направление вектора  , мы будем получать различные значения  . В частности:

1)  , если   gradu                                (( , gradu) = 0).

2)  , если  , и это значение является наибольшим из возможных (( ,gradu) принимает наибольшее значение).

3)  , если   (( , gradu) принимает наименьшее значение).

Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

19)ВОПРОС:Частные производные высших порядков. ОТВЕТ: Пусть частная производная   функции u=f(x1,...,xm) существует в каждой точке некоторого множества  , т.е. представляет собой функцию переменных x1, ..., xm.

Если эта функция имеет частную производную по переменной хk в некоторой точке М0, то она называется второй частной производной функции f(x1, ..., xm) по переменным xi и xk и обозначается

Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.

Таким образом,

Если не все индексы i1, ..., in совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.

20. Локальный максимум минимум ф-ции двух переменных Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. ТочкаM₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.А если же для всех точек то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный экстремум функции двух переменных       Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции     Если   - точка экстремума функции f, то

 и   или 

21.достаточные условия локального максимума минимума ф-ции двух переменныхПусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. ТочкаM₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

  Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции 

     Обозначим   

     Если D > 0, A > 0, то   - точка минимума.

     Если D > 0, A < 0, то   - точка максимума.

     Если D < 0, экстемума в точке   нет.

     Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.