10.Равномерная сходимость функциональных рядов.

Для функциональных рядов рассматривается еще один вид сходимости − равномерная сходимость.

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве D , если

Замечания.

  1. Равномерная сходимость рассматривается только на множестве.

   2. Наименьшее значение N_min , при котором выполняется заключительное неравенство,

длякаждого   свое, но, в отличие от обычной сходимости на D, существует наибольшее значение из всех наименьших N:  , которое и фигурирует в определении.

Будем обозначать  равномерную сходимость значком « »:

11 Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 2. Пусть   

В этом случае (Интеграл от суммы равен сумме интегралов) {б/д}

Теорема 3. Пусть функциональный ряд  :

       

 (Производная суммы равна сумме производных) {без доказательства}

12)Ряды Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд называется рядом Тейлора функции   в точке  .Свойства:Если   есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке   области определения  сходится к   в некоторой окрестности  .Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности  . Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке   равны нулю.

 Теорема 1 (необходимое условие

разложимости функции в степенной ряд).

Если функция  раскладывается в степенной

ряд (Тейлора), то она имеет непрерывные производные всех порядков внутри интервала сходимости.  

{Степенной ряд  можно почленно дифференцировать произвольное число раз.   При этом непосредственной подстановкой получаем

: 

Таким образом, разложение функции в степенной ряд является рядом Тейлора этой функции,

в коэффициенты которого входят производные всех порядков}

Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.

Замечание. Условие не является достаточным:

функция    имеет все  производные в нуле равными нулю:

 Остальные производные вычисляются аналогично. Ряд Маклорена имеет вид:   0 + 0х +0х² + … = 0 ≠ 

.Ряды Тейлора для exp(x)sin(x) cos(x)

Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim R_n(x) = 0 при n Разложение f(x) = e^x 1) f ’(x) = e^x, . . . , f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f(0) = f ‘(0) = f⁽ⁿ⁾(0) = 1  S(x) =   2) R = lim | a_n/a_n+1| = lim (n+1) =   ряд сходится при х R и,  следовательно, выполняется необходимое условие сходимостиряда lim u_n = lim xⁿ/n! = 0 n   n  3) limR_n(x) = limexp( ) xⁿ⁺¹/(n+1)! = exp( ) limxⁿ⁺¹/(n+1)! = 0 , где  (0,x) n   n   n  Итог: функция е^х на интервале (-  ,  ) является суммой ряда e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + . . . + xⁿ/n! + . . . =   ( 15 ) Разложение f(x) = sin x 1) f ’(x) = cos x = sin (x +  ) , f ‘’(x) = sin (x + 2 ), . . . , f⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + n ), . . . ; f(0) =0, f ‘(0) = 1, f ‘’(0) = 0, f ‘’’(0) = -1, f‘’’’(0) = 0,  и далее цикл 0, 1, 0, -1 повторяется при каждом обходе круга    S(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + . . . 2) R = lim | a_n/a_n+1| = lim (2n+1)!/(2n-1)! = lim 2n(2n+1) =   наинтервале (-  ,  )

n   n   n   рядсходитсяабсолютно 3) limR_n(x) = lim[ sin( + (2n+1)  )] x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = A lim x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = 0 (|A|<1) n   n   n  Итог: нечетная функция sin x на интервале (-  ,  ) является суммой ряда sin x = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + . . . =   ( 16 ) Разложение f(x) = cos x Воспользуемся формулой cos x = (sin x)’ и почленно продифференцируем разложение sin x cos x = 1 – x²/2! + x⁴/4! - . . . =   ( 17 )

13.

14 Фурье. Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда , Этот ряд может быть также переписан в виде где — амплитуда k-го гармонического колебания, — круговая частота гармонического колебания, — начальная фаза k-го колебания, — k-я комплексная амплитуда. В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

15. Ф-ции нескольких переменных общие определения. Непрерывность

Пусть есть способ сопоставить точке М принадлежащей к области D какое-то число. Тогда говорят что на D есть ф-ция z=f(x;y) z=f(m).

Предел ф-ции двух переменных δ-окрестность точки Мо . внутренняя точка области D это такая точка которая соответственно входит в область D вместе со своей окрестностью . Мо внутренняя точка. М граничная точка области. Определение конечный предел это конечное число называемое пределом ф-ции f(x;y) в ρ(M;Mo)<δ выполняется |f(M)-A|<𝛏 . Мо граничащая точка. Конечный предел. Конечное число-предел ф-ции f(x;y) в Мо €δD если для любого 𝛏>0 существует δ>0 такое что при ρ(М;Мо)<δ,М€D выполняется |f(M)-A|<𝛏