6. Понятие отношения. Свойства отношений. Отношение эквивалентности, отношение строгого порядка, отношение нестрогого порядка.
Отображение (функция) некоторого достаточно малого количества элементов множества (x1, … xn) на конечное множество R :R(x1, … xn) → R с малым количеством элементов называется отношением.
Подмножество 
называется п-местным
отношением R на
непустом множестве М.
При n =
2 отношение R называется бинарным.
(a1,a2,a3,…,an)
-элементы
a1,a2,a3,…,an
находятся в отношении R.
Свойства отношений:
1.
(x
R
x)
- если для всех х
принадлежащих мощности х находится в
отношении х
Отношение R называется рефлексивным, если для всех х пара (x, x) входит в R
2. Отношение R называется антирефлексивным, если для всех х пара (x, x) не входит в R
( 
(x
R
x))
-отрицание
3.
Отношение R называется симметричным,
если всегда, когда пара (x, y)
входит в R, то и пара (y, x)
входит в R
x
R
y
yRx
4. Отношение R называется антисимметричным, если в него входит не более одной из каждых двух пар (x, y) или (y, x). x R y & yRx x=y
5.Отношение R называется асимметричным, если оно и антисимметрично, и антирефлексивно.
(x R y ( y R x))
6.
Отношение
R называется транзитивным,
если всегда, когда две пары (x, y)
и (y, z)
входят в R, то и пара (x, z)
тоже входит в R.
(xRy&
yRz
xRz)
Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
7. Понятие операции, ассоциативной операции, дистрибутивной операции. Понятие алгебры, алгебраической системы, модели. Понятие группоида, полугруппы, коммутативной полугруппы.
Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (* ), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент ,называемый их произведением.
Ассоциати́вная
опера́ция —
это бинарная операция 
,
обладающая ассоциативностью
или
сочетательностью:
для
любых элементов 
.
Дистрибути́вность—
свойство согласованности двух бинарных
операций, определённых на одном и том
же множестве.
Говорят, что две бинарные операции + и
× удовлетворяют свойству дистрибутивности,
если для любых трех элементов 
:
— дистрибутивность
слева;
— дистрибутивность
справа.
Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными в нем операциями.
А=(M,S), где M- носитель,S-сигнатура(множество различных операций).
Алгебраической системой <M;S;O> называется объект, состоящий из трёх множеств: непустого множества M, множества алгебраических операций S, определёных на M, и множества отношений O, определёных на M. Множество M называется носителем алгебраической системы. Если алгебраическая система не содержит операций, она называется моделью, если не содержит отношений, то – алгеброй.
Алгебра А=<M,*> с одной бинарной операцией называется группоид.
Полугруппа- алгебра с одной бинарной операцией, в которой операция ассоциативна:
А=<M,*>, .
Коммутативная полугруппа(абелева полугруппа)- алгебра с одной бинарной операцией, в которой операция ассоциативна и коммутативна:
А=<M,*>, 1. .
2.
