27. Булева алгебра. Основные свойства операций булевой алгебры. Понятие двойственной и самодвойственной логической функции.
Булевой
алгеброй
называется непустое множество
A
с двумя бинарными
операциями
(аналог
конъюнкции),
(аналог
дизъюнкции),
унарной
операцией
(аналог
отрицания)
и двумя выделенными элементами: 0 (или
Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех
a,
b
и c
из множества A
верны следующие аксиомы:
|
|
ассоциативность |
|
|
коммутативность |
|
|
законы поглощения |
|
|
дистрибутивность |
|
|
дополнительность |
Некоторые свойства
Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнение 0 есть 1 и наоборот |
|
|
законы де Моргана |
|
|
инволютивность отрицания |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.Основные тождества
В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.
Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:
; |
. |
1 коммутативность переместительность |
; |
. |
2 ассоциативность сочетательность |
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции |
3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции |
3 дистрибутивность распределительность |
; |
. |
4 комплементность дополнительность (свойства отрицаний) |
; |
. |
5 законы де Моргана |
; |
. |
6 законы поглощения |
|
|
7 Блейка-Порецкого |
; |
. |
8 Идемпотентность |
. |
|
9 инволютивность отрицания |
; |
. |
10 свойства констант |
; |
. |
|
дополнение 0 есть 1 ; |
дополнение 1 есть 0 . |
|
|
|
11 Склеивание |
;
.
;
.Определение. Двойственной для функции f(x1, x2, …, xn) называется функция
Определение. Функция, совпадающая со своей двойственной, называется самодвойственной.
Утверждение.
Если функция
f(x1,
x2,
…,
xn)
самодвойственна, то функция
тоже
самодвойственна.
Утверждение. Чтобы функция была самодвойственной необходимо и достаточно, чтобы на всяких двух противоположных наборах она принимала разные значения.
Противоположными называются те наборы, которые в сумме дают двоичный код числа (2n-1).
28. Алгебра Жегалкина. Основные свойства операций алгебры Жегалкина.
Определение.
Алгеброй Жегалкина называется алгебра
над множеством логических функций и
переменных, сигнатура которой содержит
две бинарные операции & и
,
и две нульарные операции – константы
0 и 1.
В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:
1. x y = y x;
2. x ( y z ) = x y x z;
3. x x = 0;
4.
x
=
1;
5. x 0 = x.
Эти соотношения легко проверить табличным способом. Кроме перечисленных соотношений в алгебре Жегалкина выполняются соотношения булевой алгебры относительно конъюнкции и констант.
Функцию Шеффера, функцию стрелка Пирса и можно представить следующими эквивалентными формулами:
х1
/ x2 = 
=
, x1
“ x2 = 
&
=
Найдем выражения для основных элементарных функций алгебры логики в алгебре Жегалкина.
1. = x 1.
Это соотношение проверяется непосредственной подстановкой 0 и 1 в обе части равенства.
2. x y = x y x y.
Доказательство:
x
y
=
=
1
= ( x
1
)( y
1
)
1
=
= x y x y 1 1 = x y x y.
3. x ’ y = x y x 1.
Доказательство: Используем выражение для импликсации в . Тогда:
x ’ y = y = y y = ( x 1 ) y ( x 1 ) y =
= x y y x 1 y = x y x 1.
4. x / y = x y 1.
Доказательство: Используем выражение для x / y. Тогда:
x
/ y =
=
xy
1.
5. x “ y = x y x y 1.
Доказательство: Используем выражение для x “ y. Тогда:
x “ y = = ( x 1 )( y 1) = x y x y 1.
6.
x
~ y = 1
x
y.
Доказательство:
Легко
проверить, что x ~ y = x y
.
Тогда :
x ~ y = x y ( x 1 )( y 1 ) = x y x y x y 1 = 1 x y.