4. Понятие отображения множеств.

Одним из важных понятий математики, есть понятие отображения, которое непосредственно связано с понятием соответствия, описывая его. Понятие отображения часто ассоциируется с понятием функции.

Для задания отображения f необходимо указать:

1. Область определения – множество, которое отображается. Область определения задается изначально. Обозначается D(f). Элементы области определения называют аргументами.

2. Область значений – множество, к которое или на которое отображается заданная область. Область значений. Обозначается E(f)

Правило (закон, соответствие) между D(f) и E(f).

Отображения можно записывать в т виде: f:A→B, , B=f(A), B=F(A), y=f(x) и др.

При отображении, в том числе и однозначном отображении, количество образов равно или меньше числа прообразов. Это следует из того, что несколько элементов из области определения могут отобразиться в один и тот же элемент множества значений.

Задание отображений.

Для задания (записи) отображений используются следующие основные способы:

Аналитический способ – в виде формулы.

Табличный способ. В первой строчке таблицы записываются элементы (числа) области определения, во второй – элементы множества значений.

Графический способ – на координатной плоскости.

С помощью графов - двух кругов или иных геометрических фигур и стрелок.

Словесный способ – в виде текста , описывающего закон соответствия

Виды отображений.

Отображения делятся на два вида: отображения “в” и “на”.

Пусть задано отображение B=f (A)

1. Отображение “в” – инъекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества B соответствует не более одного прообраза из A. При этом, мощность множества A меньше мощности множества B.

2. Отображение “на” – сюръекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества B соответствует хотя бы один прообраз из A. При этом, мощность множества A больше или равна мощности множества B.

Особое место занимают взаимнооднозначные отображения (соответствия).

Взаимнооднозначное отображение (соответствие) – биекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует один прообраз из множества A. При этом мощность множества A равна мощности множества B.

Множества будут равномощными (равносильными, эквивалентными), если между ними можно установить (задать) взаимнооднозначное соответствие.

Для взаимнооднозначных отображений, обратное отображение также является взаимнооднозначным отображением.

5. Классификация множеств по мощности. Понятие счетного множества. Понятие несчётного множества.

Мощностью конечного множества (множества, содержащего конечное число элементов) называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается M |A|.

Существуют следующие классы по мощности и примеры для них:

1)      пустое множество – множество без элементов;

2)      конечные множества – множества с конечным числом элементов;

3)      счетные множества – множества, эквивалентные множеству натуральных чисел

4)      с мощностью континуум – множество вещественных чисел;

5)      кардинальное множество – множество подмножеств континуума. Примером является множество всех функций на множестве вещественных чисел.

6)      и т.д. Мощности больше кардинального имеют достаточно малое применение в математике и тем более в прикладных науках.

Cчётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно занумеровать натуральными числами, то есть установить взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных чисел. Множество всех рациональных чисел и даже множество всех алгебраических чисел — счётны, однако множество всех действительных чисел — несчетно.

Несчётное множество – бесконечное множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных , вещественных и комплексных чисел.