37. Теорема о функциональной полноте в слабом смысле.

Полнота системы функций означает, что, пользуясь только элементами соответствующих этим функциям типов, можно собрать любую логическую схему. При схемной реализации константы 0 и 1 специальных элементов не требуют. Поэтому существует ослабленное понятие функциональной полноты.

Определение. Система функций S называется полной в слабом смысле, если система является полной (в сильном смысле, т. е. в смысле определения в пункте 1).

Теорема 1. (Поста). Для того, чтобы система функций S была полной в слабом смысле необходимо и достаточно, чтобы она содержала хотя бы одну нелинейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.

Теорема 2. (Пост). Для того, чтобы система функций была полной (в сильном смысле) необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из замкнутых классов K0, K1, KS, KM и KL.

Схема доказательства. Необходимость очевидна, поскольку никакой из перечисленных классов не совпадает целиком с множеством всех булевых функций.

Достаточность доказывается в 3 этапа:

1. построение констант 0 и 1 с помощью функций , и ;

2. построение функции–отрицания с помощью констант 0, 1 и функции ;

3. построение конъюнкции с помощью констант 0, 1, функции и .

После этого учитывая, что дизъюнкция представляется через конъюнкцию и отрицание и что система полная, достаточность доказана.

Замечание. Из теоремы, в частности, следует, что всякий замкнутый класс, отличный от множества всех булевых функций, содержится в одном из классов K0, K1, KS, KM, KL. По этой причине перечисленные классы называют основными замкнутыми классами пространства булевых функций.

Пример. Рассмотрим совокупность булевых функций . Составим и заполним следующую таблицу, отмечая знаком «+» функции, принадлежащие соответствующим классам. Заполнение первых трех строчек очевидно. Кроме того, непосредственно видно, что функция сохраняет константы 0 и 1. Уже по форме записи она является линейной. Самодвойственоость функции вытекает из таблицы значений (см. на следующей странице), а монотонность очевидна из диаграммы Хассе.

Из таблицы видно, что множество функций S не содержится полностью ни в одном из пяти основных замкнутых классов (нет ни одного столбца целиком заполненного символами «+»). Следовательно, система функций S является полной (в сильном смысле), а совокупность – полная в слабом смысле.

38. Понятие замкнутого класса. Класс функций сохраняющих 0. Класс функций сохраняющих 1.

С понятием полноты связано понятие замыкания и замкнутого класса, определе-ния которых аналогичны соответственным определениям для двузначной логики.

Замыкание.

Пусть К – некоторое подмножество элементарных функций. Замыканием подмножества К называется множество булевых функций, представимых в виде формул через функции К. Обозначение замыкания : [K].

Пример: замыканием множества булевых функций является само это множество. Обозначим множество всех булевых функций через Р2 (2- так как функция принимает только два значения). Тогда [P2]= P2 .

Свойства замыкания :

1. K [K];

2. если K1 K2, то [K1] [K2];

3. [K1][K2][K1K2].

Можно теперь сформулировать еще одно определение полной системы:

К – полная система, если ее замыкание- все булевы функции .

Замкнутый класс.

Множество К называется функционально замкнутым (или просто замкнутым), если его замыкание – само множество К..

Дадим еще одно определение замкнутого множества (класса).

Класс К булевых функций называется замкнутым, если вместе с функциями из этого класса он содержит и все их суперпозиции, т.е. элементарные суперпозиции не выводят из этого класса. К элементарным суперпозициям относятся:

1. переименование некоторой переменной какой-нибудь функции рассматриваемой системы;

2. подстановка некоторой функции из этой системы вместо некоторой переменной любой из функции этой системы.

К замкнутым классам относятся: множество всех булевых функций Р2; класс функций от одной переменной; класс, содержащий только тождественные функции вида f(X)=X.

Приведем следующее утверждение:

Никакая полная система функций не может содержаться в функционально замкнутом классе, отличном от класса Р2 всех булевых функций.

Действительно, в противном случае найдется замкнутый класс К такой, что {f1, f2, …, fm}КР2 и КР2 . значит, найдется функция f такая , что fК , т.е. не может быть выражена через {f1, f2, …, fm}, что противоречит полноте этой системы.

Рассмотрим некоторые функционально замкнутые классы функций, которые называются важнейшими замкнутыми классами. Они используются в критерии полноты.

класс Т₀ – класс функций, сохраняющих 0, т.е. f(0,0,…0)=0.

Примеры функций, принадлежащих к Т₀: 0, х, ху=00=0, xvy=0v0=0, x+y=0+0=0.

Функции, не принадлежащие к Т₀: 1, x|y=0|0=1, xy=00=1.

Класс Т₁- класс функций, сохраняющих 1, т.е. f(1,1,…,1)=1.

К этому классу относятся , например, 1, x, xy=11=1, xvy=1v1=1, xy=11=1.

Примеры функций, не принадлежащих классу Т₁: 0, x|y=1|1=0, xy=11=0.