
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •3.Инвариантность формы первого дифференциала
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •Вопрос 11
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Описание метода
- •Оценка погрешности
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Сходимость степенных рядов
- •Признаки сходимости
- •Вопрос 23 Ряды Тейлора и Маклорена разложение основных элементарных функций
- •Вопрос 25
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Вопрос 5
Осн. теоремы диф-го исчисления
Теорема Ролля
Пусть
функция
.
Тогда
Пусть x1(a,
b),
тогда согласно теореме Ферма
Данная
теорема обладает таким же геометрическим
истолкованием, что и теорема Ферма.
Теорема Лагранжа
Пусть
функция
.
Тогда
Геометрическое
истолкование теоремы Лагранжа. Строим
график функции [a,
b]
(рис.10.2) ,
.
Угловой коэффициент касательной в
т.
.
Следовательно, на графике функц
.
Рис.
10.2
Теорема Коши
Пусть
функции
x(a,
b).
Тогда
Существует
c
- хотя бы 1 (a,
b).
Теорема Коши является обобщением
теоремы Лагранжа, где
.
Теорема Ферма
Пусть
функция
или f(c)=m
в т.
Пусть,
для определённости, f(c)==M(рис.
10.1), тогда
при
и
Согласно
определению производной имеем
Рис.
10.1 Геометрическое
истолкование теоремы вытекает из
геометрического смысла производной:
касательная к графику функции y=f(x)в
точке с абсциссой x=c
параллельна оси OX.
Правила Лопиталя
Первое:
Расмотрим y=g(x) y=f(x), f(x0)=0 g(x0)=0
Существует limx→x0(f ’(x)/ g ’(x))=K=>
Существует
limx→x0(f (x)/ g (x))=K1= limx→x0 (f ’(x)/ g ’(x))
Функции удовлетворяют условиям теоремы Коши
Пример:
limx→0(sin3x/x)=[0/0]= limx→0(3cos3x/1)=3
Замечание 1
limx→x0f (x)=0, limx→x0 g (x) =0 – Верно
дает дост. Условие существования limx→x0(f (x)/ g (x))
Достаточность – если теорема не выполняется, но рпедел есть.
Замечание 2
limx→x0(f (x)/ g (x)) = limx→x0 (f ’(x)/ g ’(x))= [0/0]= limx→x0 (f ’’(x)/ g ’’(x))=…=K
Второе:
limx→x0f (x)=∞, limx→x0 g (x) =∞ |
Существует f ’(x) g ’(x), в окрестностях x0 | =>
limx→x0(f ’(x)/ g ’(x))=K1 |
=> limx→x0(f (x)/ g (x))=K
Пример:
limx→∞((x+cos x)/x)=[∞/∞]= limx→∞((1-sin x)/1)=?????
Дополнение к правилам Лопиталя
Иногда их применяют несколько раз.
Существуют и другие неопределенности: [1∞], [∞-∞], [00], [∞0], [0*∞], но они должны быть приведены к основным с помощью преобразований функции под знаком предела.
Вопрос 6
Формула Тейлора
Задается функция y=f(x) которая в x0 имеет все производные до n-го порядка f ‘(x0),…, f (n) (x0) – числа, причем f (n+1) (x) – существует в окрестнсти x0. f ‘(x0),…, f (n) (x0) – неприрывны в x0 и окрестностях. Функция f(x) n раз в x0 неприрывно диф-ма. При этих условиях ф-ю можно представить в виде (x0=a)
Rn(x)= (f(n+1)( Ѯ)/ n+1)*(x-a) n+1
Ѯ=x0+θ(x-a), 0<θ<1
Или F(x)=∑ n k=0 (f k(x0)/k!)* (x-a)k+ Rn(x)
Применение:
Формула Тейлора позволяет вычислять значения функции с любой точьностью. Пусть известны значения f(a); f'(a); f"(a); f"'(a),...функции f(x) и её последовательный производных в начальной точке х=а. Требуется же найти значение функции при ином значении х. Вомногих случаях для этого достаточно вычислить значение многочлена Тейлора: f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f"(a)/2!*(x-a)^2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n, взяв здесь два, три или большее число членов в зависимости от требуемой степени точности.
Осн. Разложения:
Оценка пограшности: (????????????????????????????)