Применение дифференциала к приближенным вычислениям

 Мы установили, что дифференциал функции является частью ее приращения и отличается от нее на величину  . Эта величина при   является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем   при  ), так как .Поэтому при достаточно малых   имеет место приближенное равенство   или  , откуда .(1)При этом чем меньше  , тем точнее значение функции.Равенство (1) представляет собой "рабочую формулу" применения дифференциала к приближенным вычислениям.

Пример. Вычислите приближенно с двумя десятичными знаками  .

Решение.Введем функцию   и в качестве x возьмем  число, наиболее близкое к  , но такое, чтобы   легко вычислялся и   было бы достаточно малым. В нашем случае удобно взять  , тогда  Найдем  .

Вычислим  ,  .

Тогда по формуле (1) .

Ответ:  .

3.Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

Вопрос 4

Производные высших порядков

явно заданной функции

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" Итак, у"=(у')'. Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")' Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

Пример:Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

неявно заданной функции

Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у¢ . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример: Найти у'", если х²+у²=1.

Решение: Дифференцируем уравнение х²+у²-1=0 по х: 2х+2у· у¢ =0. Отсюда у'=-х/у. Далее имеем: (так как х²+у²=1), следовательно,

функций, заданных параметрически

Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что Аналогично получаем

Пример 23.3

 Найти вторую производную функции

 

Решение: По формуле (23.1) Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти у"_хх можно по преобразованной формуле (23.2):

Дифференциалы высших порядков

Для функции, зависящей от одной переменной z=f(x)  второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции z=f(x) :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по x  следует рассматривать как постоянный множитель.

Для функции нескильких переменных

Если функция z=f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:  .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции   выглядит следующим образом:

где  а    произвольные приращения независимых переменных  . Приращения    рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высших порядков

При  n≥2 , n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение d ⁿf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x=φ(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и y=f(x)=x³  :

• если    — независимая переменная, то  

• если     и  

  1. 

  2. При,     и  

С учётом зависимости x=t², уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.