Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной   какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

Первая теорема Абеля: Пусть ряд   сходится в точке  . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге   и равномерно по   на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при  , он расходится при всех  , таких что  . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга   (возможно, нулевой или бесконечный), что при   ряд сходится абсолютно (и равномерно по   на компактных подмножествах круга  ), а при   — расходится. Это значение   называется радиусом сходимости ряда, а круг   — кругом сходимости.

Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке  . Тогда он сходится равномерно по   на отрезке, соединяющем точки 0 и  .

Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела   см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть   и   — два степенных ряда с радиусами сходимости   и  . Тогда

Если у ряда   свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы   круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

Признак Д’Аламбера: Если при   и   выполнено неравенство

тогда степенной ряд   сходится во всех точках окружности   абсолютно и равномерно по  .

Свойства степенных рядов

Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов. 1.Сумма   степенного ряда (2) является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости  . 2.Ряд , (4) полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости  . Сумма ряда (4)  . Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма   ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости  . Сумма ряда полученного из ряда (2)  – кратным дифференцированием, равна  . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится. 3. Пусть числа   и   принадлежат интервалу сходимости  ряда (2). Тогда имеет место равенство (5)