14.Момент инерции твердого тела. Момент импульса. Теорема Штейнера

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).СИ: кг·м².

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,где: m_i — масса i-й точки, r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,где:  — масса малого элемента объёма тела  ,  — плотность,  — расстояние от элемента   до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Штейнера: Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если   — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии   от неё, равен

,где   — полная масса тела.

Моме́нт и́мпульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Момент импульса   частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: где   — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта,   — импульс частицы. Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где   — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как   где   — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).В СИ ;Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

.