Нагруженные орграфы. Алгоритм Форда-Беллмана выделения минимального пути в нагруженном орграфе.
Орграф называется нагруженным, если на множестве его дуг х определена весовая функция , каждой дуге в соответствие ставится ее длина
Длиной пути в нагруженном орграфе называется сумма длин всех дуг, входящих в путь, при этом каждая дуга учитывается столько раз, сколько входит в путь.
Путь в орграфе G из вершины U в вершину Vназывается минимальным, если он имеет минимальную длину среду всех путей ведущих из U в V. Минимальный путь в нагруженном орграфе определяется также, как и в обыкновенном орграфе.
Алгоритм Форда-Беллмана:
i – номер строки, k+1 – номер столбца.
Если
=∞
=> не существует min пути
из V1 в Vi,
Vi
не достижимо из V1,
в это случае работа алгоритма
прекращается, в противном случае →2.Пусть <∞, тогда число представляет собой длину min пути из V1 в Vi достигаемого за ≤n-1 дугу, определяющего количество дуг минимального пути – это есть min значение k, при котором выполняется равенство
,
k – min число
дуг в min пути.Обозначим
,
последовательно определяем номера
,
;
+
;
=
+
;
=
+
;
=
min путь из вершины
в вершину
имеет вид
,
,
…
,
.
Замечания: 1. С помощью описанного алгоритма можно найти путь min длины в ненагруженном орграфе, для того достаточно всем имеющим дугам одинаковую длину=1.
2. При решении некоторых задач возникает необходимость найти максимальный
путь, эту задачу также можно решить с помощью описанного алгоритма, для этого к каждой
дуге данного нагруженного орграфа поставим в соответствие длину, противоположной
заданной длине.
3. После того, как будет найден путь min длины для орграфа с
противоположными длинами дуг нужно поменять знак у полученной длины пути.
4. Алгоритм Форда-Беллмана применим только к тем нагруженным орграфам, в
которой отсутствует циклы отрицательной длины.