29. Определение матрицы достижимости орграфа как матрицы рефлексивного и транзитивного замыкания отношения смежности.

Введенное отношение достижимости на вершинах графа G(V,Х): вершина w достижима из вершины v, если v = w или в G есть путь из v в w. Иначе говоря, достижимость является рефлексивным и транзитивным замыканием отношения смежности.

Найти матрицу смежности, транзитивное и рефлексивное замыкание.

30. Связность в графах. Слабая, односторонняя и сильная связность в орграфах. Матрица связности и сильной связности. Компоненты связности. Определение матрицы сильной связности на основе матрицы достижимости.

G(V,Х) называется связным, если любая его вершина достижима из любой другой вершины.

Орграф G(V,Х) называется односторонне связным, если для любых двух его вершин, покрайней мене одна достижима из другой.

Орграф G(V,Х) называется сильно связным, если любая его вершина достижима из любой другой.

Орграф G(V,Х) называется слабо связным, если связным является соответствующий ему не орграф, полученный в результате удаления ориентации дуг.

Орграф, не являющийся слабо связным, называется несвязным.

Компонентой сильнодействующей связи орграфа G(V,Х) называется максимальное, по числу вхождения вершин сильносвязный подграф данного орграфа. Аналогично определяется компонента связности не орграфа.

Матрицей сильной связности (связности) орграфа (графа) G(V,Х) называется S n×n, элементы которой находятся из условия: 1, если достижимо из и достижимо из ; 0, если не достижимо из и не достижимо из .

Про содержание матрицы S можно судить о том, является или нет соответствующей ей граф

(орграф) сильносвязным или связным, для этого достаточно определить наличие 0 в матрице, если

0 нет, то граф (орграф) является связным (сильносвязным) в противном случае нет.

Матрица сильной связности может быть построена из матрицы достижимости по формуле

31. Алгоритм выделения компонент связности (сильной связности)

1. Полагаем р:=1 и S­₁:=S(p).

2. Включаем во множество вершин V_p очередной компонент сильной связности вершины соответствующей единицам первой строки матрицы S(p). В качестве матрицы смежности очередной компонентой сильной связности G(p) берем подматрицу A(G), составленную из элементов, находящихся на пересечении строк и столбцов соответствующей вершинам, принадлежащим из V_p.

3. Вычеркиваем из S(p) строки и столбцы соответствующем вершинам принадлежащим V_p. Если в результате вычеркивания ничего не осталось, то р – число компонент сильной связности, а A(G₁),…, A(G_p) есть матрицы смежности этих компонент, в противном случае обозначаем оставшуюся после вычеркивания матрицу через S(p), p:=p+1 и переходим к шагу №2.

32. Нагруженные орграфы Длина пути в нагруженном орграфе. Минимальные пути в нагруженных орграфах.

Орграф называется нагруженным, если на множестве его дуг х определена весовая функция , каждой дуге в соответствие ставится ее длина .

Длиной пути в нагруженном орграфе называется сумма длин всех дуг, входящих в путь, при этом каждая дуга учитывается столько раз, сколько входит в путь.

Путь в орграфе G из вершины U в вершину Vназывается минимальным, если он имеет минимальную длину среду всех путей ведущих из U в V. Минимальный путь в нагруженном орграфе определяется также, как и в обыкновенном орграфе.