14. Функции и отображения. Виды отображений. Обратные соответствия и функции. Способы задания функций.

Функцией называется функциональное соответствие. Для функций существует особый вид записи, называемый префиксной: если (а,b) f, f – функция (индексная форма), f(a)=b(префиксная форма).

Если функция обладает какими-либо дополнительными свойствами, характерным для соответствий, то она называется отображением.

Виды отображений:

1. Отображением а в b называется всюду определенная функция f: A B

2. Отображением множества А на множество В называется всюду определенная сюръективная функция f: A B

3. Отображением А в А называется преобразованием множества A А

4. Отображением А на А называется перестановка на множестве A А

Если y = f(x) есть взаимно однозначное отображение X на Y, то каждому можно поставить в соответствие тот единственный элемент, образом которого при отображении f является y. Это соответствие называется обратным отображением для отображения f и обозначается через f ^-1.

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x).

Способы задания функции:

-аналитический(формула)

-графический

-табличный

-рекурсивный (через саму себя, одни значения функции определяются через другие её значения.

факториал; числа Фибоначчи; функция Аккермана)

-словесный

15. Алгебраические операции. Примеры операций. Арность операции. Способы задания.

Операция – функция все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n-местная f типа f: .

Арность операции – местность операции, количество аргументов функции. По арности операции подразделяются на:

1. Унарные. Унарной операцией на множестве М называется f типа f: M M или .

Например: дополнение, f(x)= , f(x)= (R₊), .

2. Бинарные. Бинарной операцией на множестве М называется f типа f: M² M или . Например: НОК, \, ,операции на множестве векторов,v,ʌ.

3. n-арные. N-арной опирацией на множестве М называется f типа f: .

Одним из способов задания бинарных операций на множестве является таблица Кэли.

16. Свойства бинарных алгебраических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, поглощение, идемпотентность. Нейтральный и симметричный элементы.

Некоторые, часто встречающиеся свойства бинарных операций имею специальные названия:

1. * коммутативная на М <=>

2. * ассоциативная на М <=>

3. * идемпотентная на М <=> .

4. * дистрибутивная слева относительно <=>

* дистрибутивная справа относительно <=>

Если одновременно выполняется дистрибутивность слева и справа, то говорят, что *

дистрибутивна относительно .

5. * поглощает <=> .

Существует два вида терминологий применительно к бинарным операциям:

1. мультипликативная терминология: * - умножение

2. аддитивная терминология: * - сложение

Элемент e называется нейтральным для *, если , e*a=a*e=a, при этом равенство e*a=a указывает на левый нейтральный элемент e, а равенство а*е=а указывает на правый нейтральный элемент.

В мультипликативной терминологии нейтральный элемент называется «1».

В аддитивной терминологии нейтральный элемент называется «0».

Элемент называется симметричным для элемента , относительно *, если выполняется следующие условия:

В мультипликативной терминологии симметричный элемент называется обратным а^-1.

В аддитивной терминологии симметричный элемент называется противоположным –а.