1. Множества. Элементы множеств. Интуитивный принцип объемности. Способы задания множества. Мощность множества.

Множество – многое, мыслимое, как единое целое.

Состоит из объектов, но и само им является. Объекты из которых состоит множество – элементы.

Множества обычно обозначаются большими буквами: А, Х и т.д. Элементы же множеств, как правило, обозначают маленькими буквами: а, х и т.д. Для записи того, что а является элементом множества А применяется символ принадлежности.

Множество может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов, соответственно, говорят, что множество конечно или бесконечно.

Интуитивный принцип объемности Г. Кантора (1 аксиома Геделя): множества А и В считаются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим два основных способа задания неупорядоченных множеств:

- перечисление всех его элементов. В={1,2,3,…}

- описание характеристического (общего) свойства его элементов. А= {x: P(x)}. Здесь P(x) некоторое высказывание и множество А состоит только из тех x, для которых высказывание P(x) является верным.

Основные числовые множества:

N – натуральные числа

Z – целые числа

Q – рациональные числа

J – иррациональные числа

R – действительные числа (рациональные + иррациональные)

C – комплексные числа

Мощностью конечного множества А называется число его элементов. lАl-мощность.

2. Подмножества и их свойства.

Множество А называется подмножеством В, если любой элемент, принадлежащий А, принадлежит В.

АᴄВ<=> . Если АᴄВ, то будем также говорить, что множество А содержится в В, или имеется включение А в В. Множества А и В называются равными или совпадающими (обозначается А=В), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. если АᴄВ и ВᴄА. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется установить два включения.

Свойства подмножеств:

1. A, AcA

2. A, cA

3. A,B,C: { АᴄВ, BᴄC => A ᴄC - транзитивность

4. A,B: А=В { АᴄВ, ВᴄА

На свойстве 4 основано доказательство равенства множеств А и В, т.е. для того чтобы доказать, что А=В, нужно доказать два включения АᴄВ(x A,x B), ВᴄА(y B,y A). Этот способ доказательства позволяет проверить равенство множеств, не прибегая к сравнению всех элементов, что актуально для бесконечных множеств.

3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Диаграммы Эйлера-Венна.

1. A B – множество состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В. A B={x: x }

B

A

2. A B – множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. A B={x: x }

B

A

3. Разность множеств А\В={x: x }. А\В = В\А

B

A

4. U – универсальное множество (надмножество всех рассматриваемых в данном контексте

множеств).

B

. ={ x: x

A