25. Операции над графами.

1. Одноместные (унарные):

а) удаление ребра, при этом множество вершин сохраняется

б) добавление ребра

в) добавление вершины, которую можно связать с некоторыми ребрами

г) удаление вершины совместно с инцидентными ей ребрами

д) стягивание ребра – удаление пары смежных вершин и добавление новой вершины, смежной с теми вершинами, которые были смежны хотя бы с одной из удаленных вершин.

е) дополнение графа – дополнением графа Г является граф Г ', который дополняет исходный граф до полного.

2. Бинарные

а) объединением G₁(V_1,X₁) и G₂(V_2,X₂) является G₁∪ G₂(V₁∪ V₂; X₁∪ X₂)

б) пересечение G₁(V_1,X₁) и G₂(V_2,X₂) является G₁∩ G₂(V₁∩ V₂; X₁∩ X₂)

26. Способы представления графов и орграфов на эвм: матрица смежности, матрица инцидентности, список смежности, массив ребер (дуг).

Существует несколько способов представления графов в памяти ЭВМ. Она различаются объемом занимаемой памяти, скоростью выполнения операций, выбор способа зависит от специфики рассматриваемой задачи.

Рассмотрим G(V_,X), │V│=n,│X│=m. Матрицей смежности графа (орграфа) G называется A²n×n, элементы которой =1, если {V_i,V_j}∈X; =0, если {V_i,V_j}∈X.

Матрицей инцидентности графа G(V_,X) называется матрица В n×m, элементы которой инцидентно ; не инцидентно .

Матрицей инцидентности орграфа G(V_,X) называется матрица В n×m, элементы которой начало ; конец ; =0, если не инцидентно

Представление графа с помощью списочной структуры, отражающей смежности вершин и состоящей из массива указывающего на смежные вершины называется списком смежности.

Представление графа с помощью массива структур, отражающего список пар смежных вершин называется массивом ребер для графа или массивом дуг для орграфа.

27. Маршруты в графах. Виды маршрутов: замкнутые и незамкнутые. Цепь. Простая цепь. Цикл. Простой цикл. Длина маршрута. Расстояние между вершинами. Диаметр графа.

Маршрутом в G(V_,X) называется чередующая последовательность вершин и ребер, в которой два рядом стоящих элемента инцидентны друг по отношению к другу. Маршрут в орграфе называется путем. Маршрут называется замкнутым, если V₀=V_k и незамкнутым, если V₀=V_k.

Замкнутый маршрут, проходящий через каждое ребро не более одного раза называется циклом. Цикл, в котором все вершины попарно различны называется простым.

Незамкнутый маршрут, в котором все ребра попарно различны называется цепью. Цепь, в котором все вершины попарно различны называется простой.

Цикл в орграфе называется контуром. Граф без циклов называется ациклическим.

Число дуг в маршруте называется длиной маршрута. Расстоянием между вершинами называется длина кратчайшей цепи (геодезической). Диаметром графа называется длина самой длинной геодезической.

28. Орграфы и бинарные отношения. Отношение достижимости вершин орграфа. Матрица достижимости. Связь между отношениями достижимости и смежности.

G(V,X) с петлями, но без кратных дуг задает бинарное отношение Х на множестве V. Полный граф соответствует универсальному соотношению. Неориентированный граф соответствует симметричному соотношению. Дополнение графа соответствует дополнению отношения. Изменение направления дуг соответствует обратному отношению.

Орграфы и бинарные отношения один и тот же класс объектов, описанных разными средствами. Бинарные отношения, функции являются базовыми средствами для построения подавляющего большинства математических моделей, использующих для решения практических задач, а графы допускают наглядное представление в виде диаграммы. Это объясняет широко использование диаграмм различного типа в кодировании и проектировании.

Вершина b орграфа (графа) G называется достижимой из U в том и только том случае, когда U=V или существует путь (маршрут) соединяющий U с V (U – начальная вершина, V – конечная вершина). Таким образом на множестве вершин орграфа (графа) определено не только отношение смежности А, но и отношение достижимости Т.

Матрицей достижимости Т орграфа(графа) G называется T² n×n, элементы которой находятся из условия: 1, если достижимо из ; 0, если не достижимо из .

Введенное отношение достижимости на вершинах графа G(V,Х): вершина w достижима из вершины v, если v = w или в G есть путь из v в w. Иначе говоря, достижимость является рефлексивным и транзитивным замыканием отношения смежности.