2. Параметрические и непараметрические критерии статистики. Примеры (Критерии, Стьдента, Ван-дер Вардена, Уилкоксона, Знаков, их особенности и характеристики).
статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина, служащая для проверки нулевой гипотезы.
Параметрические критерии служат для проверки гипотез о параметрах совокупностей,распределенных по нормальному закону, и обладают большей мощностью, чем непараметрические. Непараметрические критерии обычно применяют, либо в тех случаях, когда варьирующие признаки выражаются не числами, а знаками (например,+ или -) либо для предварительных решений о принятии или отвержении Н0 гипотезы.
Особенности непараметрических критериев:
1.проще в применении, чем параметрические.
2.не требуют допущений о нормальности распределения генеральной совокупности.
3.среди непараметрических критериев можно подобрать те,которые могут использоваться для анализа результатов наблюдений не в абсолютных величинах, а в рангах или в символах.
Критерий СТЬЮДЕНТА.
Особенности использования t-критерия Стьюдента:Наиболее часто t -критерий используется в двух случаях. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно. Во втором же случае используется так называемый парный t-критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения.
а) случай независимых выборок
Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:
гдеX, Y средние арифметические в экспериментальной и контрольной группах,
S стандартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:
где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборки.
Если n1=n2, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:
где n величина выборки.
Подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:
k = n1 + n2 – 2.
При численном равенстве выборок k = 2n - 2.
Далее необходимо сравнить полученное значение tэмп с теоретическим значением t—распределения Стьюдента (см. приложение к учебникам статистики). Если tэмп<tкрит, то гипотеза H0 принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.
ВАН ДЕР ВАРДЕНА КРИТЕРИЙ
непараметрический критерий однородности двух выборок основанный на ранговой статистике
где - ранги (порядковые номера) случайных величин в общем вариационном ряду из и , функция определяется заранее выбранной подстановкой
- обратная функция нормального распределения с параметрами (О, 1). Выбор подстановки определяется тем, что для заданной альтернативной гипртезы мощность критерия должна быть наибольшей. При , независимо от поведения ти n по отдельности, величина распределена асимптотически нормально
W критерий Уилкоксона
это непараметрический аналог парного критерия Стьюдента (t-критерий для зависимых выборок) для сравнения больных до и после лечения. Этот непараметрический критерий основан на рангах. Принцип критерия следующий. Для каждого больного вычисляется величина изменения признака. Все изменения упорядочивают по абсолютной величине (без учета знака). Затем рангам приписывают знак изменения и суммируют эти "знаковые ранги" - в результате получается значение критерия Уилкоксона W.
Замечание: Ранжирование. Попарные разности величин признака для каждого больного ранжируются следующим образом. Положительные и отрицательные значения ставят (кроме нулевых) в один ряд так, чтобы наименьшая абсолютная величина (без учета знака) получила первый ранг, одинаковым величинам присваивают один ранг. Отдельно вычисляют сумму рангов положительных и отрицательных разностей, меньшую из двух сумм без учета знака считают тестовой статистикой данного критерия. Нулевую гипотезу принимают при данном уровне значимости, если вычисленное значение превзойдет критической значение.
КРИТЕИЙ ЗНАКОВ Z
это непараметрический критерий, который основан на оценке разности попарно сопряженных вариант (например, до и после лечения). Учитывается не величина, а направленность сдвигов. Применение критерия знаков не зависит от характера распределения данных. Изменения оценивают в альтернативной форме (увеличение-уменьшение и т.п., что обозначают знаками "+" и "-", откуда и произошло название критерия). Случаи, когда парные наблюдения не имеют разницы, в расчет не принимаются. Следует стремиться, чтобы количество нулевых разностей было минимальным. Для этого необходимо повышать точность измерения показателей, что обеспечивает непрерывность выборочных данных.
Практическое применение критерия знаков включает следующие этапы:
1) Определяется направленность изменений в сравниваемых наблюдениях.
2) Подсчитывается общее число парных наблюдений, имеющих различия (n).
3) Подсчитывается меньшее число однозначных результатов сравнения, обзначаемых как Z.
4) Z сравнивается по специальной таблице с критическими значениями для данного n.
Мощность критерия знаков ограничена и составляет примерно 2/3 мощности критерия Стьюдента.