11.Погрешности однократных косвенных измерений
Косвенные измерения.
При косвенных измерениях необходимо учитывать вклад каждой составляющей, а, следовательно, и погрешность ее определения, в получаемый результат.
Обработка экспериментальных данных производится в соответствии с МИ 2083 – 90 «Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей».
Если погрешности прямых измерений некоррелированы (что бывает чаще всего), то погрешность косвенного измерения определяется по формуле:
,
где
,
– абсолютная погрешность измерения
i-го
аргумента.
Если
функция Y
может быть представлена в виде:
,
то используют формулу для относительных
погрешностей:
где
– относительная погрешность измерения
i-го
аргумента.
12.Принципы суммирования погрешностей
Основы теории суммирования погрешностей
Определение расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей.
Главной проблемой, возникающей при суммировании, является то, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически не разрешима уже для нескольких составляющих.
Суммирование систематических погрешностей. Систематическая погрешность оценивается по ее составляющим - элементарным систематическим погрешностям.
При равномерном законе распределения элементарных систематических погрешностей (такая ситуация наиболее часто встречается в практике) их сумма равна:
где ∆si — границы i-й элементарной случайной погрешности; k —поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых i, их соотношения и доверительной вероятности. При Р =0,95 k=1.1, при Р = 0,99 k=1.4.
При большом числе слагаемых (больше 10), суммарную систематическую погрешность определяют по формуле:
Суммирование случайных погрешностей
Правила суммирования случайных погрешностей основаны на следующих положениях
оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожиданий составляющих;
оценка СКО суммарной погрешности определяется выражением
где ρ – коэффициент корреляции.
Использование последнего выражения затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают р = 0, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |р| < 0,7), или р = ±1, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей.
При суммировании составляющих с нормальным законом распределения соответственно для коррелированных и некоррелированных составляющих можно записать:
Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй – геометрическим.
Суммирование систематических и случайных погрешностей
При проведении многократных измерений случайная погрешность может быть уменьшена во много раз. Однако погрешность усредненного результата будет определяться не этой весьма малой случайной погрешностью, а не зависящей от числа усредняющих отсчетов систематической погрешностью.
Механизм суммирования систематической и случайной составляющих погрешности отличается от механизма суммирования случайных погрешностей. Согласно ГОСТ 8.207–76 погрешность результата измерения определяется по следующим правилам.
Если
границы неисключенной систематической
погрешности ∆S
и оценка СКО результата измерения
связаны соотношением:
то систематической составляющей погрешности пренебрегают и учитывают только случайную погрешность результата. При этом доверительные границы погрешности определяются по формуле:
,
где tp — коэффициент Стьюдента.
Если:
то, следует пренебречь случайной составляющей и результат характеризовать лишь границами его суммарной систематической погрешности:
∆ = ∆S
Если неравенства не выполняются, то границу погрешности вычисляют по формуле:
где
К - коэффициент, зависящий от отношения
и доверительной вероятности. (Изменяется
от 0,7 до 0,85).