1.4 Системы счисления, используемые в эвм

Системой счисления называется способ представления чисел посредством цифровых знаков или алфавита символов.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления - значение цифры зависит от места расположения в числе (арабская система счисления): 3 30 300 .

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от места расположения в числе (римская система счисления): IV VI .

В ЭВМ используют только позиционные системы счисления.

Основанием системы счисления q – называется количество символов, используемые в данной системе счисления. Например, для десятичной системы счисления q=10: 0,…,9.

В ЭВМ используются системы счисления с основаниями:

q=2: 0,1;

q=8: 0,…,7 ;

q=16: 0,…,9,A,B,C,D,E,F.

Таблица соответствия чисел (от 0 до 15) , представленных в двоичной, десятичной, шестнадцатеричной системах счисления.

q=10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
q=2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
q=16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Где q – основание системы счисления.

1.4.1 Представление чисел в позиционной системе счисления

Число в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома:

X= а_nqⁿ + а_n-1 q^n-1+...+ а₁q¹ + а₀q⁰ + а_-1q^-1 +...+ а_-mq^-m

где n + 1 - число разрядов в целой части числа;

m – число разрядов в дробной части числа;

q – основание системы счисления ;

а_i – значение i-го разряда числа в исходной системе счисления.

Пример:

Число 753,24 в десятичной системе счисления можно представить в виде:

7*10² + 5*10¹ + 3*10⁰ + 2*10^-1 + 4*10^-2

1.4.2 Перевод чисел из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода необходимо представить число в виде полинома, в котором все числа выражены в десятичной системе счисления и выполнить действия в десятичной системе счисления.

Пример:

4 3 2 1 0

( 1 0 1 1 0 )2 – ( ? )10

(10110)₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 16 + 4 + 2 = (22)10

1.4.3 Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления

(Целые и дробные части переводятся по разным правилам)

Перевод целых чисел:

Чтобы перевести число, необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления. Полученное частное вновь делиться на основание новой системы счисления. Деление будет продолжаться до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Последнее частное будет первой цифрой числа в новой системе счисления. Последующие цифры соответствуют остаткам от деления в порядке обратном их получения.

Пример:

(22)10 – ( ? )2 :

22 |2

22 |11 |2

0 | 10 |5 |2

1 |4 |2 |2

1 | 2 |1

0

(22)10 – (10110 )2 .

(22)10 – ( ? )16 :

22 |16

16 | 1

6

(22)10 – (16)16 .

(29)10 – ( ? )16 :

29 |16

16 | 1

D

(29)10 – ( 1D )16 .

Перевод дробной части числа (дробь должна быть правильной):

Чтобы перевести правильную дробь, необходимо исходную дробь умножать на основание новой системы счисления. Далее, в полученном произведении выделяются целая и дробная части. Дробная часть полученного произведения вновь умножается на основание новой системы счисления. Целые части полученных произведений будут соответствовать очередным разрядам числа в новой системе счисления (в прямом порядке их получения).

Пример:

(0,35)10 – ( ? )2

0,35*2=0,7;

0,7*2=1,4;

0,4*2=0,8;

0,8*2=1,6;

0,6*2=1,2;…

(0,35)10 – (0,01011 )2

(0,35)10 – ( ? )16

0.35*16=5.6

0.6*16=9.6

0.6*16=9.6

(0,35)10 – (0,59…9 )16