Сколемовские стандартные формы

Ранее было показано, что отношение логического следования F₁, F₂, …, F_n |- B равнозначно общезначимости формулы |- F₁& F₂& …&F_n B или противоречивости (невыполнимости) F₁& F₂& …&F_n& B. Так как в дальнейшем в процедурах доказательства мы будем иметь дело только с невыполнимыми формулами, то без потери общности ограничимся ими.

Очевидно, что если формулы F и Ф равносильны, то F логически невыполнима тогда и только тогда, когда логически невыполнима Ф.

Благодаря этому утверждению и в силу того, что алгоритмы приведения к ПНФ сохраняют равносильность невыполнимых формул, мы ограничимся формулами, имеющими пренексный вид.

Однако можно ограничиться еще более узким классом формул, так называемых -формул.

Формула F называется -формулой, если она представлена в ПНФ, причем кванторная часть состоит только из кванторов общности, т. е.

F= x₁ x₂ … x_r M,

где M – бескванторная формула.

Таким образом, возникает задача устранения кванторов существования в формулах, представленных в ПНФ. Это можно сделать путем введения сколемовских функций.

Пусть формула F представлена в ПНФ:

F= K₁ x₁ K₂ x₂ … K_r x_r M, где K_j { , }.

Пусть K_i (1 i r) – квантор существования в K₁ x₁ K₂ x₂ … K_r x_r . Если i=1, т.е. ни один квантор общности не стоит впереди квантора существования, то выбираем константу c из области определения М, отличную от констант, встречающихся в M, и заменяем х на с в М. Из префикса квантор существования K₁ x₁ вычеркиваем. Если перед квантором существования K_i стоит , , …, кванторов общности, то выбираем m-местный функциональный символ f, отличный от функциональных символов в М, и заменяем х_i на f ( , , …, ), называемую сколемовской функцией, в М. Квантор существования K_i х_i вычеркиваем из префикса. Аналогично удаляются и другие кванторы существования в ПНФ. В итоге получаем -формулу. Опишем алгоритм последовательного исключения кванторов существования.

Алгоритм Сколема

Шаг 1. Формулу представить в ПНФ.

Шаг 2. Найти наименьший индекс i такой, что K₁ , K₂ , … K_i все равны , но K_i = . Если i = 1, т. е. квантор стоит на первом месте, то вместо х₁ в формулу М подставить константу с, отличную от констант, встречающихся в М. Если такого i нет, то СТОП: формула F- является -формулой.

Шаг 3. Взять новый (i – 1)-местный функциональный символ f_i, не встречающийся в F. Заменить F на формулу

x₁ x₂ … x_i-1 K_i+1 x_i+1,…, K_r x_r M[x₁, x₂, …, x_i-1, f (x₁, x₂, …, x_i-1), x_i+1, …, x_r].

Шаг 4. Перейти к шагу 2.

Таким образом, алгоритм Сколема, сохраняя свойство невыполнимости, приводит произвольную формулу, имеющую пренексный вид, к -формуле.

Напомним, что атом или его отрицание называется литерой. Литера вида А называется положительной, а вида А – отрицательной.

Рассмотрим теперь преобразование бескванторной части (матрицы) к виду так называемых дизъюнктов. Дизъюнктом называется формула вида

L₁ L₂ … L_k,

где L₁ ,L₂ ,…,L_k – произвольные литеры.

Дизъюнкты, соединенные знаком &, образуют конъюнктивную нормальную форму (КНФ). Существует простой алгоритм равносильного преобразования произвольной бескванторной формулы в КНФ. Представим его в развернутом виде.

Алгоритм приведения к КНФ

Шаг 1. Начало: дана формула F, составленная из литер с применением связок & и . Предполагается, что в формуле исключены скобки между одинаковыми связками, т. е. нет выражений вида

Ф₁ (Ф₂ Ф₃), (Ф₁ Ф₂) Ф₃

или

Ф₁ & (Ф₂ &Ф₃), (Ф₁ &Ф₂) &Ф₃.

Шаг 2. Найти первое слева в хождение двух символов ( (или ) ). Если таких вхождений нет, то СТОП: формула F находится в КНФ.

Шаг 3. Пусть первым вхождением указанной пары символов является (. Тогда взять наибольшие формулы Ф₁, Ф₂, …, Ф_r, ₁, ₂, …, _s такие, что в F входит формула F₁ = Ф₁ Ф₂ … Ф_r (₁& ₂& …& _s), которая связана с вхождением (. Заменить формулу F на формулу ( Ф₁ Ф₂ … Ф_r ₁)& ( Ф₁ Ф₂ … Ф_r ₂) & …& ( Ф₁ Ф₂ … Ф_r _s).

Шаг 4. Пусть первым вхождением является ) . Тогда взять наибольшие формулы Ф₁, Ф₂, …, Ф_r, ₁, ₂, …, _s такие, что в F входит формула F₁ = (₁& ₂& …& _s) Ф₁ Ф₂ … Ф_r, связанная с вхождением ) . Заменить F₁ на (₁ Ф₁ Ф₂ … Ф_r)& (2 Ф₁ Ф₂ … Ф_r) & …& (_s Ф₁ Ф₂ … Ф_r).

Шаг 5. Перейти к шагу 2.

Итак, последовательным применением алгоритма приведения к ПНФ, алгоритма Сколема и алгоритма приведения к КНФ с сохранением свойства невыполнимости любая формула F может быть представлена набором дизъюнктов, объединенных кванторами общности. Такую формулу будем называть формулой, представленной в Сколемовской стандартной форме (ССФ). В дальнейшем формулы вида x₁ x₂ … x_r[D₁ & D₂ & …& D_k] , где D₁ , D₂ , …, D_k - дизъюнкты, а x₁ , x₂, …, x_r - различные переменные, входящие в эти дизъюнкты, будет удобно представлять как множество дизъюнктов S ={ D₁ , D₂ , …, D_k }.