Исчисление высказываний как формальная система

Исчисление высказываний (ИВ) представляем в виде формальной системы. Алфавит ИВ образуют буквы латинского алфавита с числовыми индексами или без них (эти буквы называются высказывательными переменными или атомами), символы логических связок (отрицание ), & (конъюнкция), (дизъюнкция), (импликация), а также левая и правая скобки.

Правила образования ППФ:

1) все атомы являются ППФ;

2) если А и В – ППФ, то (A), (А&В), (А В), (А В)– также ППФ.

3) других ППФ не существует.

Скобки, расположение которых в ППФ определяется однозначно, мы иногда будем опускать.

Система аксиом ИВ (введена П. С. Новиковым):

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) .

В ИВ имеются два правила вывода - подстановка и modus ропепs (дедуктивного вывода).

Правило подстановки применяется к имеющейся ППФ А, содержащей некоторый атом X. Одновременной заменой всех вхождений этого атома в А(X) на произвольную ППФ В мы получим формулу A(В), которую именуем результатом подстановки в ППФ А(X) формулы В.

Если А(X) – теорема ИВ, то A(В) – тоже теорема ИВ.

Приведем пример. Подставив в аксиому 8 ИВ формулу (С&D) вместо атома С, получаем следующую теорему ИВ:

.

Правило дедуктивного вывода (modus ponens) применяется к имеющейся паре ППФ А и А В; результатом применения данного правила является ППФ В.

Если A и А В являются теоремами ИВ, то В - также теорема ИВ.

Будем трактовать символы , &, , как функции алгебры логики. Тогда каждая ППФ, сконструированная из атомов X₁, X₂, …, X_n, на любых наборах их логических значений (0 или 1, ложь или истина) обращается в ложь или истину.

Правильно построенная формула, которая является истинной на всех наборах логических значений ее переменных, именуется общезначимой.

Правильно построенную формулу А именуем невыполнимой (противоречивой), если ППФ А является общезначимой.

Можно проверить, что все аксиомы ИВ являются общезначимыми ИПФ. Оба правила вывода сохраняют общезначимость. Получаем справедливость следующего утверждения:

"Каждая теорема ИВ является общезначимой ППФ".

Полноту приведенной системы аксиом утверждает следующий факт:

"Каждая общезначимая ППФ является теоремой ИВ".

Система аксиом П.С.Новикова обладает также свойствами непротиворечивости и независимости.

Далее под термином "формула" понимаем ППФ.

Две формулы ИВ называются эквивалентными, если на любом наборе логических значений составляющих их атомов они одновременно обращаются в истину или одновременно обращаются в ложь. Эквивалентность обозначаем символом =.

Легко убедиться, что

(А В )=( А В);

данный факт далее будет играть принципиальное значение.

Литерами будем называть атомы и их отрицания. Таким образом, формула ( А В) составлена из двух литер, А и B.

Формула В есть конъюнктивная нормальная форма (КНФ), если В имеет вид

В₁ &В₂ & ...& В_m ,

где каждая из формул B_i , i=1,…,m, есть дизъюнкция литер. В качестве примера КНФ приведем формулу:

( X₁ X₃ X₄ )& (X₁ X₂ )& (X₂ X₃ X₅ ).

Аналогично, формула В есть дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), если В имеет вид

В₁ В₂ ... В_m ,

где каждая из формул B_i , i=1,…,m, есть конъюнкция литер. В качестве примера ДНФ приведем формулу:

( X₁ & X₃ & X₄ ) (X₁ & X₂ ) (X₂ & X₃ & X₅ ).

В дальнейшем дизъюнкцию литер будем называть дизъюнктом, а конъюнкцию – конъюнктом.

Любая формула ИВ может быть преобразована в эквивалентную ей ДНФ или КНФ с помощью следующего алгоритма.

Шаг 1. А В = А В,

А~В = (А В)& ( А В)

выражение операций импликации и эквиваленции через операции конъюнкции и дизъюнкции.

Шаг 2. А=A ,

(А В) = А& В,

(А&В) = А В

продвижение отрицания до атома.

Шаг 3. А (В&C) = (А В)& (А C) (для КНФ),

А& (В C) = (А&В) (А&C) (для ДНФ).

Пример 1. Требуется преобразовать в КНФ формулу

Ф=[( А В)& (C&(D А))].

Решение. Ф=[( А В)& (C&(D А))]=(А В)& ( C ( D А))=

=(А В)& ( C D)& ( C А).