Исчисление предикатов первого порядка

Исчисление высказываний оказывается недостаточным для обоснования, например, таких рассуждений:

1. «Всякое положительное целое число есть натуральное число. Число 5 есть положительное целое число. Следовательио, 5 есть натуральное число».

2. «Я видел портрет Мартынова. Мартынов – убийца Лермонтова. Следовательно, я видел портрет убийцы Лермонтова».

Объяснение лежит в том, что исчисление высказываний ограничивается структурой предложений в терминах простых высказываний, а приведенные рассуждения требуют анализа структуры предложения в смысле связи субъекта и предиката, как это делается в грамматике. Однако в логике слово «предикат» употребляется в более общем смысле, чем в грамматике, где оно выражает только то, что говорится о субъекте.

Пусть задано некоторое множество V ={v₁, v₂, ..., v_k, ….}, в котором, v₁, v₂ и т. д.– какие-то определенные предметы из этого множества. Обозначим любой предмет из этого множества через х и назовем х предметной переменной. Тогда высказывания об этих предметах будем обозначать в виде Р(v₁), Q(v₁, v₂) и т. д., причем такие высказывания могут быть как истинными, так и ложными. Например, если V ={1, 2, 3, …}, то высказывание «4 есть четное число» является истинным, а «7 есть четное число» – ложным. Если вместо конкретных чисел 4, 7 и т. д. поставим предметную переменную, то получим предикат «х есть четное число», обозначаемый Р(х).

Таким образом, предикат на множестве V есть логическая функция, определенная на V, при фиксировании аргументов которой она превращается в высказывание со значениями {И, Л}. В данном случае имеем логическую функцию Р(х), определенную на множестве V и принимающую два значения: И, Л. В общем случае через Р(х₁, х₂, ..., х_n) обозначим n-местный предикат, обладающий тем свойством, что, приписав значения переменным х₁, х₂, ..., х_n из соответствующих областей определения, получим высказывание со значениями {И, Л}.

Важную роль в излагаемом далее так называемом исчислении предикатов (слова «первого порядка» для краткости пока будем опускать) играют две связки и . Связка называется квантором общности, а связка – квантором существования. Пусть Р(х) означает, что х обладает свойством Р. Тогда договоримся через х Р(х) обозначать утверждение: «Все х области V обладают свойством Р» или «Для всякого предмета х области V выражение Р(х) истинно». Запись х Р(х) будет означать, что существует предмет х области V, обладающий свойством Р, или существует предмет х области V, для которого Р(х) истинно.

Пусть А – формула исчисления предикатов (определение формулы будет дано далее) . В выражении х А (или х А) формула А называется областью действия квантора х (соответственно х).

Введем понятия свободного и связанного вхождения переменной в формулу. Вхождение переменной х в данную формулу называется связанным, если х является переменной входящего в эту формулу квантора х (или х) или находится в области действия входящего в эту формулу квантора х (или х); в противном случае вхождение переменной х в данную формулу называется свободным. Отсюда переменная называется свободной (связанной) переменной и данной формуле, если существуют свободные (связанные) ее вхождения в эту формулу.

В общем случае … А(х₁, х₂, ..., х_n), где , , …, являются подмножеством переменных, х₁, х₂, ..., х_n будет пониматься как утверждение, что для любых значений, придаваемых предметным переменным , , …, из области определения А(х₁, х₂, ..., х_n), истинность А(х₁, х₂, ..., х_n) зависит только от свободных переменных, входящих в эту формулу. Аналогично … А(х₁, х₂, ..., х_n), где , , …, – также подмножество переменных, х₁, х₂, ..., х_n понимается как утверждение, что существуют значения переменных , , …, из области определения А(х₁, х₂, ..., х_n) такие, что истинность А(х₁, х₂, ..., х_n) будет зависеть лишь от свободных переменных, входящих в эту формулу.

Если к формуле А(х₁, х₂, ..., х_n) применяем n раз какие-либо кванторы, то получаем выражение, представляющее собой некоторое постоянное высказывание, которое называется замкнутой формулой, т. е. формулой без свободных переменных.

Рассмотрим выражение x А(х), которое означает, что не для всех х из области определения А(х) истинно. Это высказывание, в свою очередь, равносильно высказыванию, что существует, по крайней мере, один предмет х из области определения А(х), для которого А(х) ложно, т. е. xА(х)= х ( А(х)).

Аналогично можно показать, что xА(х)= х ( А(х)).

Отсюда кванторы общности и существования называются двойственными друг другу.

Применяя правило силы операций, будем считать, что кванторы и располагаются по силе между связками ~, и связками ,&, . Во избежание недоразумений в ряде случаев будем ставить скобки.

Таким образом, в исчислении предикатов используются:

x₁, x₂, …, x_n, … – предметные переменные;

a₁, a₂, …, a_n, … – предметные константы;

A¹₁, A²₂, …, A^l_m, P¹₁,… – предикатные буквы;

f¹₁, f²₂, …, f^l_k,… – функциональные буквы.

Верхний индекс предикатной или функциональной буквы указывает число аргументов, а нижний служит для различения букв с одним и тем же числом аргументов.

Правила конструирования термов:

1) всякая предметная переменная или предметная константа есть терм;

2) если fⁿ_i – функцнональная буква и t₁, t₂, …, t_n – термы, то fⁿ_i(t₁, t₂, …, t_n) есть терм;

3) других правил образования термов нет.

Например, х, у и 1 – термы; mult и plus – двухместные функциональные символы, тогда plus(у, 1) и mult(х, plus(у, 1)) – также термы.

Правила образования атомов (атомарных формул):

1) всякое переменное высказывание есть атом;

2) если Aⁿ_i – предикатная буква, а t₁, t₂, …, t_n – термы, то Aⁿ_i (t₁, t₂, …, t_n) есть атом;

3) других правил образования атомов нет.

Формулы исчисления предикатов конструируются по следующим правилам:

1) всякий атом есть формула;

2) если А и В – формулы и х – предметная переменная, то каждое из выражений А, А В, А ~ В, А & В, А В, что xА, х А есть формула;

3) других правил образования формул нет.

Как и раньше будем употреблять скобки только в тех случаях, которые исключают двусмысленности. Кроме того, всегда предполагаем, что свободные и связанные переменные обозначены разными буквами и если один квантор находится в области действия другого, то переменные, связанные этими кванторами, также обозначены разными буквами.

Пример. Пусть Р(х) и N(х) обозначают соответственно «х есть положительное целое число» и «х есть натуральное число». Тогда утверждение «Всякое положительное целое число есть натуральное число. Число 5 есть положительное целое число. Следовательно, 5 есть натуральное число» будет записано на языке исчисления предикатов следующим образом:

х(Р(х)) N(х),

Р(5),

N(5).

Отметим, что для перевода предложений с русского языка на язык исчисления предикатов не существует механических правил. В каждом отдельном случае нужно сначала установить, каков смысл переводимого предложения, а затем пытаться передать тот же смысл с помощью предикатов, кванторов и термов.

Формулы исчисления предикатов имеют смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов.

Под интерпретацией в исчислении предикатов будем понимать всякую систему, состоящую из непустого множества V, называемого областью интерпретации и какого-либо соответствия, относящего каждой предикатной букве Aⁿ_i некоторое n-местное отношение в V (т. е. Vⁿ {И, Л}), каждой функциональной букве fⁿ_i – некоторую n-местную функцию в V (т. е. Vⁿ V ) и каждой предметной константе a_i – некоторый элемент из V. При заданной интерпретации предметные переменные мыслятся пробегающими область V этой интерпретации, а логическим связкам , , ~, &, и кванторам придается их обычный смысл.

Для данной интерпретации любая формула без свободных переменных представляет собой высказывание, которое может быть истинным или ложным, а всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации. Причем это отношение может быть истинным для одних значений переменных из области интерпретации и ложным для других.

Если область интерпретации конечна, то можно выяснить истинность или ложность формулы, перебрав все различные элементы множества. Однако на практике мощность множества бывает настолько велика, что об этом не может быть и речи.

Понятия общезначимости и противоречивости формул исчисления предикатов аналогичны этим понятиям в исчислении высказываний. Кроме того, будем называть формулу выполнимой, если она истинна, по крайней мере, в одной интерпретации.