Метод линейной резолюции
Линейным
выводом из множества дизъюнктов M
назовем конечную последовательность
дизъюнктов D1,
D2,
… Di,
в которой D1
принадлежит
M
,
а каждый последующий дизъюнкт Di
(i=2,…,m)
является резольвентой дизъюнкта Di-1
и одного из дизъюнктов совокупности
Si-1=M
{D2}
{D3}
…
{Di-2}.
При этом в процессе вывода каждый
очередной дизъюнкт Di
именуется центральным дизъюнктом, а
дизъюнкт, выбираемый из совокупности
Si-1,
боковым дизъюнктом.
Пример 6. Методом линейной резолюции требуется доказать противоречивость следующей совокупности дизъюнктов (см. пример 5):
1) A А'; 2) В В'; 3) A B; 4) A В';
5) В А'; 6) А' В'; 7) В' А'.
Реализуемый методом линейной резолюции вывод пустого дизъюнкта представим следующей схемой:
В
А' A
B
А' В' A А'
A В' А' В'
В' В В'
A B В
А' A A
А' B А'
В B
Теорема о полноте принципа линейной резолюции. Если конечная совокупность дизъюнктов противоречива, то данный факт может быть доказан методом линейной резолюции.
Отметим, что если в методе линейной резолюции боковой дизъюнкт брать только из исходного множества M, то, существенно упрощаясь, он теряет свойство полноты. Перебором вариантов можно показать, что таким образом нельзя доказать противоречивость совокупности дизъюнктов {Р Q, Р Q, Р Q, Р Q} (см. пример 3).
Верхняя оценка временной вычислительной сложности алгоритма проверки непротиворечивости КНФ, основанного на принципе линейной резолюции, остается экспоненциальной, что связано с полнотой данного принципа и NP - полнотой задачи выполнимости КНФ.
Метод семантической резолюции
Как отмечалось, в процессе поиска вывода пустого дизъюнкта методом резолюции генерируется некоторая совокупность излишних, ненужных для вывода, дизъюнктов. Одним из способов уменьшения числа генерируемых излишних дизъюнктов является введение интерпретации.
Интерпретацией для набора входящих в дизъюнкт букв (переменных) X1, X2, …, Xn является n - мерный булев вектор Е (е1, е2,..., еn); переменной Xi присваивается логическое значение "истина" ("ложь"), если еi = 1 (соответственно еi = 0). При интерпретации Е дизъюнкты исходной совокупности M и порождаемые резольвенты разбиваются на два подмножества – S1, содержащее дизъюнкты, при данной интерпретации обращающиеся в истину, и S2, включающее дизъюнкты, обращающиеся в ложь.
Метод семантической резолюции предусматривает, что при образовании каждой следующей резольвенты используется один дизъюнкт множества S1и один дизъюнкт множества S2 .
Пример 7. Рассмотрим совокупность дизъюнктов из примера 5:
1) A А'; 2) В В'; 3) A B; 4) A В';
5) В А'; 6) А' В'; 7) В' А'.
Примем следующую интерпретацию: A = 1; A' = 0; В =1; В' = 0. Укажем номера формул, входящих в множество S1: 3, 4, 5, 6, 7; номера формул, входящих в множество S2, следующие: 1, 2. Применим метод семантической резолюции (перед каждым дизъюнктом указываем его порядковый номер, после дизъюнкта в скобках вписываем номера порождающих дизъюнктов и множества, S1 или S2, которому принадлежит полученный дизъюнкт):
8) А' В (1,3; S1);
9) А' В (2,6; S2);
10) А' (8,9; S2);
11) В' (7,10; S2);
12) A (4,11; S2);
13) В (3,12; S1);
14) В (5,10; S2);
15) (13,14).
Теорема о полноте принципа семантической резолюции. Если конечная совокупность дизъюнктов противоречива, то данный факт может быть доказан методом семантической резолюции.
Доказательство может быть выполнено для любой фиксированной интерпретации,
Верхняя оценка временной вычислительной сложности метода семантической резолюции экспоненциальна.