Логические следствия

Формула В именуется логическим следствием совокупности формул А₁, А₂ , ..., А_m, если каждый набор логических значений переменных, обращающий в истину все формулы А₁, А₂ , ..., А_m, обращает в истину и формулу В.

Теорема 1. Формула В является логическим следствием формул А₁, А₂ , ..., А_m тогда и только тогда, когда формула

А₁ & А₂ & ...& А_m B

является теоремой ИВ.

Теорема 2. Формула В является логическим следствием формул А₁, А₂ , ..., А_m тогда и только тогда, когда формула

А₁ & А₂ & ...& А_m & B

противоречива.

Из теорем 1 и 2 следует, что проверка, является ли формула B логическим следствием совокупности формул {А₁, А₂ , ..., А_m}, сводится к доказательству общезначимости или противоречивости некоторой ППФ.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Предполагается доказать справедливость следующих утверждений

1. Если Джон убийца и пистолет у него, то Смит пистолет обнаружит;

2. Если Смит обнаружит пистолет и передаст его Бобу, то Смит рапорт не напишет;

3. Если босс к делу причастен, то Смит передаст пистолет Бобу и напишет рапорт.

Требуется доказать, что если Джон убийца и пистолет у него, то босс к делу не причастен.

Запишем посылки 1 – 3 в символическом виде:

А&В C; (1)

C&D E; (2)

F D&E. (3)

В принятых обозначениях требуется доказать справедливость следующего заключения:

А&В F. (4)

Покажем, что из истинности всех посылок следует истинность заключения, т.е. что утверждение (4) является логическим следствием утверждений (1) – (3).

Совокупность посылок представляем в виде формулы

(А&В C)&(C&D E)&(F D&E).

Эта формула эквивалентна следующей КНФ:

K₁=( А В C) & ( C D E)&( F D) &( F E).

Формулу (4) также представим в виде КНФ:

K₂=( А В F).

Согласно теореме 2, формула (4) является логическим следствием формул (1) – (3) тогда и только тогда, когда формула K₁& K₂ противоречива. Имеем

K₁& K₂=( А В C) & ( C D E)&( F D) &( F E)&A&B&F=

A&B&F&C&( D E)&D&E.

Противоречивость последней формулы очевидна, ибо три дизъюнкта, ( D E), D и Е, одновременно не могут быть истинными. Таким образом, заключение (4) действительно вытекает из утверждений (1)- (3), является их логическим следствием.

Д алее общезначимые формулы будем обозначать символом , а противоречивые – символом . Как очевидно, A A= и A& A=.

Как известно, проблема определения по КНФ, является ли она выполнимой (непротиворечивой), относится к числу NP-полных. В предположении Р NР полиномиальных по временной вычислительной сложности (числу выполняемых элементарных операций) алгоритмов решения этой проблемы не существует. Выполнимость КНФ от n переменных может быть определена путем последовательного тестирования всех наборов логических значений этих переменных (общее число наборов равно 2ⁿ).

Практика показала, что достаточно часто эффективным средством определения противоречивости КНФ является принцип резолюции.