Исчисление предикатов первого порядка как формальная система

Рассмотрим формальную аксиоматическую систему ФС для исчисления предикатов.

1. Исходными элементами ФС являются:

а) счетное множество предметных переменных x₁, x₂, …, x_n, …;

б) конечное (может быть и пустое) или счетное множество

предметных констант a₁, a₂, …, a_n, …;

в) конечное (может быть и пустое) или счетное множество

функциональных букв f¹₁, f²₂, …, f^l_k,…;

г) непустое конечное или счетное множество предикатных букв

A¹₁, A²₂, …, A^l_m, P^l_k,…;

д) символы исчисления высказывании: , , ~, &, ;

е) скобки ( ) и запятая;

ж) символы и ;

з) других исходных элементов нет.

2. Правила образования ППФ:

а) всякий атом есть ППФ;

б) если А и В – ППФ и х – предметная переменная, то каждое из выражении А, А В, А ~ В, А & В, А В, что xА, х А есть ППФ;

в) других правил образования ППФ нет.

Таким образом, форма записи ППФ совпадает с записью формул исчисления предикатов.

3. Система аксиом.

К системе аксиом исчисления высказываний добавляются еще две аксиомы:

А1. х А(x) A(t), где A(x) есть ППФ и t – терм, свободный для х в А(х).

А2. A(t) xА(x), где A(x) есть ППФ и t – терм, свободный для х в А(х).

4. Правила вывода.

п.1. Все аксиомы выводимы.

п.2. Правило подстановки. Это правило аналогично правилу подстановки, которое имеет место для исчисления высказываний. Только в данном случае мы будем иметь дело с такой подстановкой термов t₁, t₂, …, t_n вместо в A[ ], что A[ ] свободна для t₁, t₂, …, t_n.

Несоблюдение этого условия может привести к неприятным последствиям. Например, пусть в аксиоме А1 терм t не свободен для х в A[x] и пусть A[x] есть ППФ вида х₂ A(x₁, x₂ ) и t есть х₂. Тогда терм t не свободен для x₁, в х₂ A(x₁, x₂ ).

Рассмотрим следующий пример:

х₁ ( х₂ A(x₁, x₂ )) х₂ A(x₂, x₂ )

и возьмем в качестве интерпретации любую область, содержащую не менее двух элементов, а в качестве А – отношение тождества. Тогда посылка х₁ ( х₂ A(x₁, x₂ )) в данном примере истинна, а заключение х₂ A(x₂, x₂ ) ложно.

п. 3. Правило modus ponens (МР).

Если |- А и |- А В, то |- В.

п. 4. Правило обобщения (или правило связывания квантором общности) .

Если ППФ В А(х) при условии, что В не содержит свободных вхождений х, выводима, то выводима будет и ППФ В х А(х).

п. 5. Правило конкретизации (или правило связывания квантором существования).

Если ППФ А(х) В выводимая ППФ (теорема) и В не содержит свободных вхождений х, то x А(х) В также теорема.

п. 6. Если А – теорема, имеющая квантор общности и/или квантор существования, то одна связанная переменная в А может быть заменена другой связанной переменной, отличной от всех свободных переменных, одновременно во всех областях действия квантора и в самом кванторе. Полученная ППФ также является теоремой.

п. 7. Других правил вывода нет.

Определение выводимости в исчислении предикатов является расширением соответствующего определения для исчисления высказываний. Поэтому среди выводимых ППФ исчисления предикатов будут находиться все выводимые ППФ исчисления высказывании.

Будем считать, что ППФ В выводима из ППФ А (аналогично из множества ППФ A₁, A₂, ….,A_n ), если:

1. A выводима из A;

2. каждая выводимая в ФС ППФ также выводима и из A;

3) из выводимости ППФ В₁, и В₁ В₂, из А следует выводимость В₂ из А;

4) если ППФ В₁ В₂(х) выводима из А, причем В₁ и А не содержат свободных вхождений х, то и ППФ В₁ х В₂(х) также выводима из А;

5) если ППФ В₂(х) В₁ выводима из А, причем В₁ и А не содержат свободных вхождений х, то и ППФ x В₂(х) В₁ выводима из А;

6) если ППФ В выводима из ППФ А, то и В`, полученная из В подстановкой термов вместо свободных вхождений в В переменных, также выводима из А;

7) если В выводима из А, то и В`, полученная из В любым переименованием связанных переменных, отличных от имен свободных переменных, выводима из А.

Вывод ППФ из пустого множества посылок есть доказательство этой ППФ, а сама ППФ называется теоремой.

Для исчисления предикатов также имеет место теорема дедукции: если A₁, A₂, ….,A_n |- B, то |-A₁ ( A₂ (….,(A_n B)…)).

Остановимся теперь на свойствах исчисления предикатов: непротиворечивости и полноте. Как и раньше, будем считать непротиворечивым такое исчисление, в котором не выводимы никакие две ППФ, из которых одна является отрицанием другой.

Теорема. Исчисление предикатов первого порядка непротиворечиво.

Так как аксиомам исчисления предикатов соответствуют выводимые ППФ исчисления высказываний, то, очевидно, что всякой выводимой ППФ исчисления предикатов соответствует выводимая ППФ исчисления высказываний. Из полноты исчисления высказываний и непротиворечивости исчисления предикатов вытекает, что всякая ППФ исчисления высказываний, выводимая из исчисления предикатов, является выводимой ППФ исчисления высказываний.

Теорема. Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая теорема является общезначимой ППФ.

Теорема (Геделя о полноте). Во всяком исчислении предикатов первого порядка всякая общезначимая ППФ является теоремой.