МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет …

Кафедра прикладной математики

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ

ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Введение

Принцип резолюции – универсальный способ доказательства утверждений. Наиболее широкое применение он находит при доказательстве высказываний, сформулированных на языке исчисления высказываний (ИВ) и исчисления предикатов (ИП).

В данной разработке ИВ и ИП вводятся как конкретизация общего понятия формальной системы. Излагается ряд основных результатов этих теорий, вводится понятие логического следствия; устанавливается, что проблема выводимости утверждения из набора предпосылок сводится к доказательству невыполнимости (противоречивости) некоторой конъюнктивной нормальной формы (КНФ). Для доказательства противоречивости КНФ вводится и изучается процедура резолюции, включая некоторые ее модификации (линейную и семантическую резолюции).

Известно, что проблема противоречивости КНФ NР - полна. Согласно естественнонаучной гипотезе Р МР, полиномиальных решающих алгоритмов для нее не существует. Вместе с тем выделяются частные классы КНФ, для которых удается построить алгоритмы решения с полиномиальной верхней оценкой временной вычислительной сложности.

При написании данной разработки использованы литературные источники [1-4].

Понятие формальной системы

Формальная система (ФС) считается заданной, если определены следующие ее компоненты: 1) алфавит; 2) совокупность правильно построенных формул; 3) множество аксиом; 4) множество правил вывода.

Алфавит ФС включает конечное или бесконечное число символов. Эти символы делятся на три группы – буквы, символы операций и связок, вспомогательные символы (скобки различных видов, запятые и т.д.). Количество символов связок, символов операций и вспомогательных символов конечно, число букв может быть бесконечно за счет индексов, принимающих натуральные значения.

Любую конечную последовательность символов алфавита именуем формулой ФС. В совокупности формул ФС выделено множество правильно построенных формул (ППФ). Для ППФ задаются правила их конструирования и эффективная процедура, позволяющая по каждой формуле ФС определить, является ли она ППФ.

Множество аксиом – это выделенное подмножество ППФ. Если множество аксиом бесконечно, то предполагается наличие процедуры проверки по ППФ, является ли она аксиомой.

Правила вывода позволяют из имеющегося множества ППФ (утверждений) получать новые ППФ – непосредственные следствия этих утверждений.

Последовательность ППФ А₁, А₂ , ..., А_n называется выводом в ФС, если для любого i=1,…,n ППA А_i является либо аксиомой AС, либо непосредственным следствием некоторых ППФ множества (A₁, A₂, …,A_i-1), получаемым применением к этим ППФ некоторого правила вывода; ППФ A называется теоремой ФС, если в данной ФС имеется вывод, в котором последней ППФ является A.

Формальная система называется разрешимой, если существует алгоритм определения по произвольной ППФ, является ли она теоремой. Если такого алгоритме не существует, то рассматриваемая ФС именуется неразрешимой.

Правильно построенная формула B выводима из совокупности ППФ (А₁, А₂ , ..., А_n), если существует последовательность ППФ В₁ , В₂ , ..., В_k такая, что В_k=В и для любого i=1,..,k формула В_i является либо аксиомой ФС, либо формулой множества (А₁, А₂ , ..., А_n), либо непосредственным следствием некоторых ППФ множества (В₁ , В₂ , ..., В_k), получаемых применением к этим ППФ одного из правил посылками или гипотезами. Формулы, выводимые из пустого множества посылок, являются теоремами.

Запись А₁, А₂ , ..., А_n |- В означает выводимость формулы В из множества посылок (А₁, А₂ , ..., А_n); запись |- В означает, что В является теоремой ФС. Если М={А₁, А₂ , ..., А_n}, то запись А₁, А₂ , ..., А_n |- В можно представить записью М |- В.

Очевидны следующие утверждения:

– если и , то ;

­– тогда и только тогда, когда в М имеется конечное подмножество M₁ такое, что ;

– если и для любой формулы В из множества M₁, .

Приведем простейший пример формальной системы. Считаем алфавит состоящим из символов |, = , +. Правила конструкции ППФ следующие:

1) | есть ППФ;

2) если а – ППФ, то а| также ППФ;

3) если а и b – ППФ, то а + b и а = b также ППФ;

4) других ППФ нет.

Система аксиом включает единственную аксиому: | = |. Единственное правило вывода следующее: из ППФ a = b выводится а + | = b |.

Очевидно, что теоремой в введенной ФС будет любая формула вида

|+|+|+…+|=|…|,

где слева и справа от знака = стоит одинаковое число символов |;

других теорем в ФС нет.