Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]

.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

602.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

ÇÄÅ In;k

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх	71

ЬМЕНЕОФПЧ a(k)	= 0, a(k) = 0, j	= k + 2 : : : n, ФП НПЦЕН ИТБОЙФШ, ОБРТЙНЕТ,
jk	kj
cos 'k+1 ОБ НЕУФЕ a(k) = 0, Á sin 'k+1			{ ОБ НЕУФЕ a(k) = 0.
	jk		kj
фТХДПЕНЛПУФШ БМЗПТЙФНБ		РПУФТПЕОЙС ПРЙУБООПЗП ЧЩЫЕ ТБЪМПЦЕОЙС УЛМБ-

ДЩЧБЕФУС ЙЪ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РТПЧЕДЕОЙС УБНПЗП БМЗПТЙФНБ, Й ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ Q. рПДТПВОЩЕ ЧЩЛМБДЛЙ ВЩМЙ РТПЧЕДЕОЩ РТЙ ПВУХЦДЕОЙЙ БМЗПТЙФНБ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК.

x 15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх хойфбтощн рпдпвйен нефпдпн пфтбцеойк

рХУФШ ФТЕВХЕФУС РТЙЧЕУФЙ НБФТЙГХ A (ОЕ ПВСЪБФЕМШОП ЧЕЭЕУФЧЕООХА) Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ.

чУАДХ ОЙЦЕ НЩ ВХДЕН ЮБУФП РПМШЪПЧБФШУС УМЕДХАЭЙНЙ ЖБЛФБНЙ.

1. еУМЙ РП РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЕ Uk 2 Mk (ТБЪНЕТБ k k ) РПУФТПЙФШ НБФТЙГХ
U 2 Mn (ТБЪНЕТБ n n) РП ЖПТНХМЕ
	In;k	0
U =	0	Uk !	(1)

2 Mn;k { ЕДЙОЙЮОБС НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ (n;k) (n;k), ФП РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ НБФТЙГЩ A ОБ НБФТЙГХ U УМЕЧБ ЙЪНЕОСАФУС ФПМШЛП РПУМЕДОЙЕ k УФТПЛ НБФТЙГЩ A, Б РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ ОБ U УРТБЧБ ЙЪНЕОСАФУС ФПМШЛП РПУМЕДОЙЕ k УФПМВГПЧ НБФТЙГЩ A. ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙС ХНОПЦЕОЙС НБФТЙГ.

2.еУМЙ НБФТЙГБ Uk 2 Mk Ч (1) УБНПУПРТСЦЕООБС, ФП НБФТЙГБ U 2 Mn , РПМХЮЕООБС Ч (1), ФБЛЦЕ УБНПУПРТСЦЕООБС. ьФП ДПЛБЪБОП РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК, УН. (13.8).

3.еУМЙ НБФТЙГБ Uk 2 Mk Ч (1) ХОЙФБТОБ, ФП НБФТЙГБ U 2 Mn , РПМХЮЕООБС Ч (1), ФБЛЦЕ ХОЙФБТОБ. ьФП ДПЛБЪБОП РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК, УН. (13.9).

x 15.1. уМХЮБК РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ

C	n пВПЪОБЮЙН a1 = (a21 : : : an1)t . уПЗМБУОП МЕННЕ 13.9 УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕЛФПТ x(1) 2
	, ТБЧОЩК
		x(1) =	a1	; ka1ke1
			ka1
ФБЛПК, ЮФП U(x(1))a1 =		ka1ke1 , ÇÄÅ		; ka1ke1k	0) 2	Cn;1 , U(x(1)) 2 Mn;1 {
			e1 = (1 0 : : :
НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС. рПМПЦЙН
			1	0
		U1 =	0	U(x(1)) !:		(2)

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

л.а.вПЗБЮЕЧ

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх

лБЛ ПФНЕЮБМПУШ ЧЩЫЕ, НБФТЙГБ U1

СЧМСЕФУС ХОЙФБТОПК.

хНОПЦЙН НБФТЙГХ A

ОБ U1 УМЕЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ A(1) ×ÉÄÁ (14.1) (ÐÏ-

УЛПМШЛХ РЕТЧБС УФТПЛБ НБФТЙГЩ A ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС). хНОПЦЙН НБФТЙГХ A(1) ÎÁ

U1 = U1 УРТБЧБ, РПМХЮЙН НБФТЙГХ (14.2) (У ХЮЕФПН ФПЗП, ЮФП РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ

УРТБЧБ ОБ U1 РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(1) ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС).

рХУФШ УДЕМБОЩ k ; 1

k = 1 : : : n ;b 1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ

РТЕПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ

A(k;1)

UiA

(3)

i=k

i=2

ÇÄÅ A(k;1)

ЙНЕЕФ ЧЙД (14.4),

Ui =

0 U(x(i))

ЪДЕУШ Ii 2

Mi { ЕДЙОЙЮОБС НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ i

i, U(x(i)) 2 Mn;i { НБФТЙГБ

ПФТБЦЕОЙС ТБЪНЕТБ (n ; i) (n ; i), РПУФТПЕООБС РП ЧЕЛФПТХ

x(i) =

a1(i;1)

; ka1(i;1)ke1(n;i)

Cn;i

ka1(i;1)

; ka1(i;1)ke1(n;i)k

ÇÄÅ e1(m) = (1 0 : : : 0)

Cm ,

a(1i;1) = (a(i+1i;1) : : : a(nii;1))t 2 Cn;i:

пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ a(1k;1) ЮБУФШ РЕТЧПЗП УФПМВГБ РПДНБФТЙГЩ (a(ijk;1))i =k::: , УН. (14.5). уПЗМБУОП МЕННЕ 13.9 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС

U(x(k)) =

ФБЛБС, ЮФП

рПМПЦЙН

I		2x(k)(x(k)) x(k) =		a1(k;1)	; ka1(k;1)ke1(n;k)	Cn;k
I	;	2x(k)(x(k)) x(k) =		ka1(k;1)	; ka1(k;1)ke1(n;k)k 2	Cn;k
	;			ka1(k;1)	; ka1(k;1)ke1(n;k)k 2
		U(x(k))a1(k;1) = ka1(k;1)ke1(n;k):
			Ik	0
		Uk =	0 U(xk) ! :

(4)

(5)

(6)

лБЛ ПФНЕЮБМПУШ ЧЩЫЕ, НБФТЙГБ Uk СЧМСЕФУС УБНПУПРТСЦЕООПК Й ХОЙФБТОПК. хНОПЦЙН НБФТЙГХ (3) ОБ Uk УМЕЧБ, РПМХЮЙН

			A(k) = UkA(k;1)	(7)
ЗДЕ НБФТЙГБ		(k)	b	УФТПЛ Х НБФТЙГ
ЗДЕ НБФТЙГБ		A	ЙНЕЕФ ЧЙД (14.8) пФНЕФЙН, ЮФП Ч (7) РЕТЧЩЕ k	УФТПЛ Х НБФТЙГ
A(k)	É A(k;1)	bУПЧРБДБАФ. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ (7) ЪБЛМАЮБЕФУС Ч
b

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх		73
x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх
ХНОПЦЕОЙЙ НБФТЙГЩ U(xk) 2 Mn;k ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k+1	j =k:::	ÍÁ-
ФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ (n ; k) (n ; k + 1) (ПУФБМШОБС ЮБУФШ A(k;1)	Ч РТЕПВТБЪП-
ЧБОЙЙ (7) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ).

хНОПЦЙН НБФТЙГХ A(k) ÎÁ Uk = Uk УРТБЧБ, РПМХЮЙН ЙЪ (14.8) (У ХЮЕФПН ФПЗП,
ЮФП РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ УРТБЧБ ОБ Uk				УФПМВГЩ 1 : : : k НБФТЙГЩ A(k) ОЕ ЙЪНЕОСАФУС)
		b							b
		(k)	=	A	(k)	Uk = UkA	(k;1)	Uk	b	(8)
		A	=	A		Uk = UkA		Uk		(8)
ЗДЕ НБФТЙГБ A	(k)			b						УФПМВГПЧ Х НБ-
ЗДЕ НБФТЙГБ A		ЙНЕЕФ ЧЙД (14.10). пФНЕФЙН, ЮФП Ч (8) РЕТЧЩЕ k								УФПМВГПЧ Х НБ-

ÔÒÉÃ A(k) É A(k) УПЧРБДБАФ. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ (8) ЪБЛМАЮБЕФУС
Ч ХНОПЦЕОЙЙbНБФТЙГЩ U(xk) 2 Mn;k			ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=1 j =k+1			ÍÁ-
b			b
ФТЙГЩ A	(k;1)	ТБЪНЕТБ n (n ; k) (ПУФБМШОБС ЮБУФШ A		(k;1)	Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (8)
				b
ОЕ ХЮБУФЧХЕФ).

чЩЮЙУМЕОЙС РП ЖПТНХМБН (4) ПУХЭЕУФЧМСАФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЧОБЮБМЕ

ЧЩЮЙУМСАФУС ЮЙУМБ

sk =

jajk(k;1)j2

(9)

j=k+2

(k;1)

2 + sk:

(10)

ak+1

ЪБФЕН { ЧЕЛФПТ

(k;1)

)t 2 Cn;k

x(k) = (ak+1

; ka1

k ak+2

: : : ank

(11)

Й ЕЗП ОПТНБ

= q

kx(k)k

jx1(k)j2 + sk

(12)

фЕРЕТШ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ x(k) :

x(k) := x(k)=kx(k)k

Ô.Å.

x(jk) := xj(k)=kx(k)k j = 1 : : : n ; k:

(13)

;2 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (3), (14.4)

Ë(8), (14.10)) НБФТЙГБ РТЙНЕФ ФТЕВХЕНЩК РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОЩК ЧЙД (14.12), ЗДЕ

		1		n;2
R = A(n;2)	=	Y	UiA	Y	Ui:	(14)
R = A(n;2)	=		UiA		Ui:	(14)
		i=n;2		i=1

пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ РТЙЧЕДЕОЙС НБФТЙГЩ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК

пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕО-

ОЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n ; 2.
1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ U(xk) РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФУС
Á) n ; k ; 1 ХНОПЦЕОЙК Й n ; k ; 2 УМПЦЕОЙК ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС sk × (9)R
л.а.вПЗБЮЕЧ	фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

фЕПТЕНБ 1.

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх

В) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС

ЧЩЮЙУМЕОЙС

ka1(k;1)k

× (10)R

(k)

Ч) ПДОП ЧЩЮЙФБОЙЕ ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ x

× (11)R

З) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС

ЧЩЮЙУМЕОЙС

kx(k)k

× (12)R

(k)

Ä) n

; k ДЕМЕОЙК ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ

× (13).

;k) =

чУЕЗП ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ U(xk) ФТЕВХЕФУС (n

;k ;1) + 1 + 1 + (n

2(n ; k) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, (n ; k ;

2) + 1 + 1 + 1 = n ; k + 1 БДДЙФЙЧОЩИ

ПРЕТБГЙК Й 1 + 1 = 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.

2. лПНРПОЕОФЩ k + 1 : : : n k -ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩЕ ЛПНРПОЕОФБН

ЧЕЛФПТБ

ka1(k;1)k e1(n;k) , ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ Ч (10). уФПМВЕГ k

ЧЩЮЙУМСЕФУС ОЕ РП

ПВЭЙН ЖПТНХМБН (7) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й

ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.

3. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (7) НБФТЙГБ U(xk)

Mn;k ХНОПЦБЕФУС ОБ РПДНБ-

(k;1)

)i=k+1

НБФТЙГЩ A(k;1)

k) (k -Ê

ФТЙГХ (aij

=k+1

ТБЪНЕТБ (n

;

УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(k) ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2), ФП УПЗМБУОП МЕННЕ 13.11 ОБ ЬФП

ФТЕВХЕФУС 2(n ; k)b + O(n ; k) (n ! 1) ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК.

4. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (8) НБФТЙГБ U(xk)

Mn;k ХНОПЦБЕФУС ОБ РПДНБ-

(k;1)

)i=1 j =k+1

; k), ФП УПЗМБУОП

ФТЙГХ (aij

НБФТЙГЩ A(k;1) ТБЪНЕТБ n

МЕННЕ 13.11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 2(n

;

k)n+O(n

;

k) (n

! 1

) ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП

ЦЕ УМПЦЕОЙК.

éÔÁË, ÎÁ k-ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ 2(n

;

k) + 1 + 2(n

;

+ 2n(n

k) + O(n

k) = 2n(n

k) + 2(n

+ O(n

;

k) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ

+O(n;k)

ПРЕТБГЙК, n

;k+1+2(n;k)

+2n(n;k)+O(n;k) = 2n(n;k)+2(n;k)

БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ

n;2

X(2n(n ; k) + 2(n ; k)2 + O(n ; k))

k=1

= 2n((n ; 1)(n ; 2)=2) + 2((n ; 1)(n ; 2)(2n ; 3)=6) + O(n2) = n3 + O(n2) + 23 n3 + O(n2) = 53 n3 + O(n2) (n ! 1)

НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2(n ;2) ПРЕТБГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС).

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБ РТЙЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК ФТЕВХЕФУС 53 n3 + O(n2) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. ъБНЕФЙН, ЮФП ЬФП ЛПМЙЮЕУФЧП ПРЕТБГЙК Ч ДЧБ У РПМПЧЙОПК ТБЪБ ВПМШЫЕ, ЮЕН ОХЦОП ДМС ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК.

чУСЛБС ОЕЧЩТПЦДЕООБС НБФТЙГБ A НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕОБ Ч ЧЙДЕ A = Q R Qt , ЗДЕ НБФТЙГБ Q { ХОЙФБТОБС, Б НБФТЙГБ R { ЧЕТИОСС РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС.

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх										75
x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рТПЧЕДЕН ДМС НБФТЙГЩ A ЙЪМПЦЕООЩК ЧЩЫЕ БМЗПТЙФН,
ПУХЭЕУФЧЙНЩК ДМС ЧУСЛПК ОЕЧЩТПЦДЕООПК НБФТЙГЩ. пВПЪОБЮЙН Ч (14)										^	=
										Q	=
1						^
						^
i=n;2	Ui . лБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ХОЙФБТОЩИ НБФТЙГ, НБФТЙГБ Q ХОЙФБТОБ. фПЗДБ (14)
Q	^ ^t	^	;1	^t	;1	t	^	t		^	;1
ЙНЕЕФ ЧЙД R = QAQ		, ПФЛХДБ A = (Q)		R(Q )		= QRQ	, ÇÄÅ Q = (Q)		= (Q)

{ ХОЙФБТОБС НБФТЙГБ. нБФТЙГБ R, ЙНЕАЭБС ЧЙД (14.12), ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХУМПЧЙСН ФЕПТЕНЩ.

ъБНЕЮБОЙЕ 1. лБЛ ПФНЕЮБМПУШ ЧЩЫЕ, РПУФТПЕООПЕ Ч ФЕПТЕНЕ 1 ТБЪМПЦЕОЙЕ ЙУРПМШЪХЕФУС Ч ТСДЕ БМЗПТЙФНПЧ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК НБФТЙГЩ.

иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ПДОЙН ЙЪ УРПУПВПЧ, ЙЪМПЦЕООЩИ РТЙ ПВУХЦДЕОЙЙ БМЗПТЙФНБ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ДМС НБФТЙГЩ

A НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК.

фТХДПЕНЛПУФШ БМЗПТЙФНБ РПУФТПЕОЙС ПРЙУБООПЗП ЧЩЫЕ ТБЪМПЦЕОЙС УЛМБДЩЧБЕФУС ЙЪ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РТПЧЕДЕОЙС УБНПЗП БМЗПТЙФНБ, Й ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ Q. рПДТПВОЩЕ ЧЩЛМБДЛЙ ВЩМЙ РТПЧЕДЕОЩ РТЙ ПВУХЦДЕОЙЙ БМЗПТЙФНБ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК.

x 15.2. уМХЮБК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ

тБУУНПФТЙН УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ПРЙУБООЩК ЧЩЫЕ НЕФПД РТЙЧЕДЕОЙС Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ РТЙНЕОСЕФУС Л УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕ A 2 Mn .

уПЗМБУОП (14.1), (14.2) A(1) = U1AU1t , ÇÄÅ U1 { ХОЙФБТОБС НБФТЙГБ, Ф.Е. A(1) É A { ХОЙФБТОП РПДПВОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, A(1) { УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ. уПЗМБУОП (7), (8) ОБ k -ÏÍ (k = 1 : : : n ; 2) ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ A(k) = UkA(k;1)Ukt , ÇÄÅ Uk { ХОЙФБТОБС НБФТЙГБ. уМЕДПЧБФЕМШОП, A(k) É A ХОЙФБТОП РПДПВОЩ, Й A(k) { УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ ДМС ЧУСЛПЗП k = 1 : : : n;2. фБЛЙН ПВТБЪПН, R = A(n;2) { РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОБС Й УБНПУПРТСЦЕООБС, Ф.Е. ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ.

ъБРЙЫЕН ПРЙУБООЩК ЧЩЫЕ РТПГЕУУ РТЙЧЕДЕОЙС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ ФБЛ, ЮФПВЩ НБЛУЙНБМШОП ХНЕОШЫЙФШ ПВЯЕН ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ТБВПФЩ ЪБ УЮЕФ ЙУРПМШЪПЧБОЙС УЙННЕФТЙЙ.

мЕННБ 1. дМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U = U(x) 2 Mn Й ЧУСЛПК УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ A 2 Mn НБФТЙГБ B = UAU = UAU НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОБ ЪБ 2n2 + O(n) ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рПУЛПМШЛХ U(x) = I ; 2xx , ÔÏ

B = (I;2xx )A(I;2xx ) = (I;2xx )(A;2Axx ) = A;2Axx ;2xx A+4xx Axx :

пВПЪОБЮЙН
	y = Ax 2 Cn	(15)

л.а.вПЗБЮЕЧ	фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

ъБНЕЮБОЙЕ 2.

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх	76

ч УЙМХ УБНПУПРТСЦЕООПУФЙ НБФТЙГЩ A ЙНЕЕН y = Ax = A x = (x A) , 4xx Axx = 2xx Axx + 2xx Axx = 2xx yx + 2xy xx

B = A ; 2yx ; 2xy + 2xx yx + 2xy xx = A ; 2(I ; xx )yx ; 2xy (I ; xx )

пВПЪОБЮЙН
z = 2(I ; xx )y = 2y ; x(x y) = 2y ; 2(x y)x:	(16)
фПЗДБ
B = A ; zx ; xz	(17)

рПУМЕ ЬФЙИ РТЕПВТБЪПЧБОЙК НЩ НПЦЕН УЖПТНХМЙТПЧБФШ БМЗПТЙФН ЧЩЮЙУМЕОЙС НБФТЙГЩ B :

1)чЩЮЙУМСЕФУС ЧЕЛФПТ y РП ЖПТНХМЕ (15). оБ ЬФП ФТЕВХЕФУС n2 + O(n) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

2)чЩЮЙУМСЕФУС ЧЕЛФПТ z РП ЖПТНХМЕ (16). оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ = 2(x y) { ХДЧП- ЕООПЗП ЕЧЛМЙДПЧБ УЛБМСТОПЗП РТПЙЪЧЕДЕОЙС, ФТЕВХЕФУС n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙКR ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ z = 2y; x ФТЕВХЕФУС 2n НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й n БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. пВЭЕЕ ЮЙУМП ПРЕТБГЙС, ОЕПВИПДЙНПЕ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ЧЕЛФПТБ z { 3n + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й 2n + O(1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

3)чЩЮЙУМСЕФУС НБФТЙГБ B РП ЖПТНХМЕ (17). нБФТЙГБ B ЛБЛ ХОЙФБТОП РПДПВОБС A УБНПУПРТСЦЕОБ, РПЬФПНХ РП ЖПТНХМЕ (17) ЧЩЮЙУМСАФУС ФПМШЛП n(n+1)=2 ЬМЕНЕОФПЧ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ B . оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ЬМЕНЕОФБ НБФТЙГЩ B РП ЖПТНХМЕ (17) ОБДП ЧЩРПМОЙФШ 2 ХНОПЦЕОЙС Й 2 ЧЩЮЙФБОЙС, РПЬФПНХ ФТХДПЕНЛПУФШ ЧЩЮЙУМЕОЙС B РП ЖПТНХМЕ (17) ТБЧОБ n(n + 1) = n2 + O(n) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩН Й n2 + O(n) БДДЙФЙЧОЩН ПРЕТБГЙСН.

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЬФПФ БМЗПТЙФН ФТЕВХЕФ n2+O(n)+3n+O(1)+n2 +O(n) = 2n2+ O(n) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. мЕННБ ДПЛБЪБОБ.

дМС ОЕУБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ A ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ B = UAU ФТЕВХЕФ 4n2 + O(n) ХНОПЦЕОЙК УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК (УН. МЕННХ 13.11).

пВПЪОБЮЙН a1 = (a21 : : : an1)t . уПЗМБУОП МЕННЕ 13.9 УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕЛФПТ x(1) 2 Cn , ТБЧОЩК

x(1) = a1 ; ka1ke1

ka1 ; ka1ke1k

ФБЛПК, ЮФП	U(x(1))a1 =	ka1ke1 , ÇÄÅ e1 =	(1 0 : : : 0)	2 Cn;1 , U(x(1))	2 Mn;1
{ НБФТЙГБ	ПФТБЦЕОЙС.	чЧЕДЕН НБФТЙГХ	U1 ËÁË ×	(2) Й ЧЩЮЙУМЙН	НБФТЙГХ

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх

A(1) = U1AU1 . ч УЙМХ УБНПУПРТСЦЕООПУФЙ НБФТЙГЩ A(1) ЧНЕУФП (14.2) ДМС ОЕЕ

УРТБЧЕДМЙЧП ВПМЕЕ ФПЮОПЕ ТБЧЕОУФЧП

a11

: : :

ka(1)k

a(1)

: : :

a(1)

A(1) = U1AU1 =

k 0 k

a32(1)

a33(1)

: : :

a3(1)n

(18)

. ... .

a(1)

: : : a(1)

фБЛЙН ПВТБЪПН, Х НБФТЙГЩ A(1)

ОЕПВИПДЙНП У РПНПЭША МЕННЩ 1 ЧЩЮЙУМЙФШ

ФПМШЛП РПДНБФТЙГХ (a(1))

i =2

n;1

(ФБЛ ЛБЛ ПУФБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ ХЦЕ ЧЩ-

ЮЙУМЕОЩ).

рХУФШ УДЕМБОЩ k

;

1 k = 1 : : : n

;

1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. НБФТЙГБ

(k;1)

ЙНЕЕФ ЧЙД (14.14).

РТЕПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ (14.3), ЗДЕ НБФТЙГБ

чЧЕДЕН ПВПЪОБЮЕОЙЕ (14.5). уПЗМБУОП МЕННЕ 13.9 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ПФТБ-

ЦЕОЙС (4) ФБЛБС, ЮФП ЧЩРПМОЕОП (5). пРТЕДЕМЙН Uk	ТБЧЕОУФЧПН (6). чЩЮЙУМЙН
НБФТЙГХ
A(k) = UkA(k;1)Uk:	(19)

нБФТЙГБ A(k) ХОЙФБТОП РПДПВОБ УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕ A(k;1) . рПЬФПНХ ПОБ УБНПУПРТСЦЕОБ Й ЧНЕУФП (14.10) ДМС ОЕЕ УРТБЧЕДМЙЧП ВПМЕЕ ФПЮОПЕ ТБЧЕО-

УФЧП (14.16). фБЛЙН ПВТБЪПН, Х НБФТЙГЩ A(k)		ОЕПВИПДЙНП У РПНПЭША МЕННЩ 1
ЧЩЮЙУМЙФШ ФПМШЛП РПДНБФТЙГХ (a(k))	i =k+1	2	M	n;k;1	(ФБЛ ЛБЛ ПУФБМШОЩЕ ЬМЕ-
ij	i =k+1			n;k;1
НЕОФЩ ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ).
НЕОФЩ ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ).

рПУМЕ n ; 2 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ (14.3), (14.14) Л (19), (14.16)) НБФТЙГБ РТЙНЕФ ФТЕВХЕНЩК ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩК ЧЙД (14.17).

пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ РТЙЧЕДЕОЙС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ Л ФТЕИДЙБЗПОБМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК

пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n ; 2.

1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ U(xk) РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФУС 2(n ; k) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, n ; k + 1 БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (УН. ЧЩЮЙУМЕОЙС РТЙ ПГЕОЛЕ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ РТЙЧЕДЕОЙС НБФТЙГЩ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК).

2. лПНРПОЕОФЩ k + 1 : : : n		k -ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩЕ ЛПНРПОЕОФБН
ЧЕЛФПТБ ka1(k;1)k e1(n;k)	, ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ Ч (10). уФПМВЕГ k		ЧЩЮЙУМСЕФУС ОЕ РП
ПВЭЙН ЖПТНХМБН (7) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й
ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
3. рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (19)
(aij(k))i=k+1 j	=k+1	= U(xk)(aij(k;1))i=k+1 j =k+1	U(xk)	(20)

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

фЕПТЕНБ 2.

x15. ртйчедеойе нбфтйгщ л рпюфй фтехзпмшопнх чйдх	78

ФП Ч УЙМХ МЕННЩ 1 ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РПДНБФТЙГЩ (20) НБФТЙГЩ A(k) ФТЕВХЕФУС 2(n ; k)2 + O(n ; k) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

éÔÁË, ÎÁ k -ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ n ; k + 1 + 2(n ; k)2 + O(n;k) = 2(n;k)2 +O(n;k) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, n;k+1+2(n;k)2+ O(n ; k) = 2(n ; k)2 + O(n ; k) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ

n;2

X(2(n;k)2 +O(n;k)) = 2((n;1)(n;2)(2n;3)=6)+O(n2) = 23 n3 +O(n2) (n ! 1)

k=1

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБ РТЙЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК ФТЕВХЕФУС 23 n3 + O(n2) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. ъБНЕФЙН, ЮФП ЬФП ЛПМЙЮЕУФЧП ПРЕТБГЙК Ч ДЧБ У РПМПЧЙОПК ТБЪБ НЕОШЫЕ, ЮЕН ФТЕВХЕФУС ДМС РТЙЧЕ- ДЕОЙС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ Л РПЮФЙ ФТЕХЗПМШОПНХ ЧЙДХ ХОЙФБТОЩН РПДПВЙЕН НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК Й УПЧРБДБЕФ ЛПМЙЮЕУФЧПН ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩН ДМС ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК.

чУСЛБС ОЕЧЩТПЦДЕООБС УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ A НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕОБ Ч ЧЙДЕ A = Q R Qt , ЗДЕ НБФТЙГБ Q { ХОЙФБТОБС, Б НБФТЙГБ R { ФТЕИДЙБЗПОБМШОБС.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП уПЧРБДБЕФ У ДПЛБЪБФЕМШУФЧПН ФЕПТЕНЩ 1.

A НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК.

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

ÐÒÉ n 5.

фЕПТЕНБ 1.

чУЕ ПРЙУБООЩЕ ЧЩЫЕ НЕФПДЩ СЧМСАФУС ФПЮОЩНЙ.

зМБЧБ II.

нефпдщ обипцдеойс упвуфчеоощи ъобюеойк

x 1. фпюоще й йфетбгйпооще нефпдщ

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ОБЪЩЧБЕФУС ФПЮОЩН, ЕУМЙ РТЙ ПФУХФУФЧЙЙ ПЛТХЗМЕОЙК ФПЮОПЕ ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ ОБИПДЙФУС ЬФЙН НЕФПДПН ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК (ОБРТЙНЕТ, ДМС НЕФПДБ зБХУУБ ЬФП

23 n3 + O(n2)).

оБ ТЕБМШОПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК НБЫЙОЕ ФПЮОЩК НЕФПД ДБЕФ ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА УЙУФЕНЩ. нЕТБ ВМЙЪПУФЙ ПГЕОЕОБ Ч x I.3.

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ ОБЪЩЧБЕФУС ЙФЕТБГЙПООЩН, ЕУМЙ ПО УПУФПЙФ Ч ЧЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ fxkg, УИПДСЭЕКУС Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА: xk ! x ÐÒÉ k ! 1. йФЕТБГЙПООЩК НЕФПД ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДБЕФ ФПМШЛП ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ xk0 Л ФПЮОПНХ ТЕЫЕОЙА.

фЕПТЙС ЙФЕТБГЙПООЩИ НЕФПДПЧ ВХДЕФ ЙЪМПЦЕОБ Ч ЛХТУЕ "юЙУМЕООЩЕ НЕФПДЩ". пРТЕДЕМЕОЙЕ. нЕФПД ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК ОБЪЩЧБЕФУС ЙФЕТБГЙПООЩН, ЕУМЙ ПО УПУФПЙФ Ч ЧЩЮЙУМЕОЙЙ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ f kg, УИПДСЭЕКУС Л ФПЮОПНХ УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА: k ! ÐÒÉ k ! 1. йФЕТБГЙПООЩК НЕФПД ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДБЕФ ФПМШЛП ОЕЛПФПТПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ

k0 Л ФПЮОПНХ УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА.

(вЕЪ ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.) оЕ НПЦЕФ УХЭЕУФЧПЧБФШ ФПЮОПЗП НЕФПДБ ОБИПЦДЕОЙС ЧУЕИ УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ A 2 Mn ÐÒÉ n 5. дТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, ЪБ ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ОЕМШЪС ОБКФЙ ЧУЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС РТПЙЪЧПМШОПК НБФТЙГЩ A 2 Mn

л.а.вПЗБЮЕЧ

нЕФПДЩ ОБИПЦДЕОЙС УПВУФЧЕООЩИ ЪОБЮЕОЙК

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
02.05.2014602.66 Кб143Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12].pdf
#
02.05.2014480.74 Кб59Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [22].pdf
#
02.05.2014471.94 Кб40Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 1.pdf
#
02.05.2014392.2 Кб32Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы Исследование функций 2.pdf
#
02.05.20142.22 Кб12Вычисление многомерных интегралов.PAS
#
02.05.201478.85 Кб48Интерполяция функций.doc