Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]

1 : : : n. уМЕДПЧБФЕМШОП, ПУХЭЕУФЧЙН БМЗПТЙН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС, Б ЪОБЮЙФ, Й НЕФПД зБХУУБ.

рХУФШ ПУХЭЕУФЧЙН БМЗПТЙН РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС, Ф.Е. Ч ЖПТНХМБИ (13) ЧПЪНПЦОП ПУХЭЕУФЧЙФШ ДЕМЕОЙЕ ОБ lii i = 1 : : : n. уМЕДПЧБФЕМШОП, ДМС ЧУЕИ i = 1 : : : n lii =6 0 Й РПФПНХ det Ak = l11 : : : lkk =6 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 : : : n.

x 5. нефпдщ рпумедпчбфемшопзп йулмаюеойс оейъчеуфощи дмс меофпюощи нбфтйг

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нБФТЙГБ A 2 Mn ОБЪЩЧБЕФУС МЕОФПЮОПК, ÅÓÌÉ aij = 0 ÐÒÉ i ; j > k1 ÌÉÂÏ j ; i > k2 . чЕМЙЮЙОБ k1 + k2 + 1 ОБЪЩЧБЕФУС ЫЙТЙОПК МЕОФЩ. åÓÌÉ k1 = k2 = 1, ФП НБФТЙГБ ОБЪЩЧБЕФУС ФТЕИДЙБЗПОБМШОПК.

x 5.1. нЕФПД зБХУУБ ДМС МЕОФПЮОЩИ НБФТЙГ

тБУЮЕФОЩЕ ЖПТНХМЩ НЕФПДБ зБХУУБ (4.6), (4.8), (4.10) ПУФБАФУС УРТБЧЕДМЙЧЩ- НЙ Й ДМС МЕОФПЮОЩИ НБФТЙГ, ОП ПВЯЕН ЧЩЮЙУМЕОЙК РП ОЙН НПЦЕФ ВЩФШ УПЛТБЭЕО РТЙ ХЮЕФЕ УФТХЛФХТЩ НБФТЙГЩ A. ч ЖПТНХМБИ РТСНПЗП ИПДБ (4.6), (4.8) ЧЩЮЙ-

УМЕОЙС ОБДП ЧЕУФЙ ДМС j = k + 1 : : : k + k2 i = k + 1 : : : k + k1 . ыЙТЙОБ МЕОФЩ УЙУФЕНЩ (4.9), РПМХЮБАЭЕКУС РПУМЕ РТСНПЗП ИПДБ, ТБЧОБ k2 + 1, РПЬФПНХ

Ч ЖПТНХМЕ (4.10) ПВТБФОПЗП ИПДБ НЕФПДБ зБХУУБ ОБДП ХЮЙФЩЧБФШ ФПМШЛП k2 + 1 УМБЗБЕНЩИ.

бОБМПЗЙЮОП ФПНХ, ЛБЛ ЬФП ВЩМП УДЕМБОП ЧЩЫЕ, НПЦОП РПДУЮЙФБФШ, ЮФП

1.оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ckj ÐÒÉ j = k +1 : : : k+k2 k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (4.6) ФТЕВХЕФУС n k2 + O(1) ПРЕТБГЙК ДЕМЕОЙС.

2.оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ a(ijk) ÐÒÉ i = k+1 : : : k+k1 j = k+1 : : : k+k2 k = 1 : : : n

РП ЖПТНХМБН (4.8) ФТЕВХЕФУС n k1 k2 + O(1) ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ

ПРЕТБГЙК ЧЩЮЙФБОЙС.

йФБЛ, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ ckj j = k + 1 : : : k + k2 k = 1 : : : n УЙУФЕНЩ (4.9) ФТЕВХЕФУС n(k1 k2 + k2) + O(1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ

БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

3.оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ yk ÐÒÉ k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (4.6) ФТЕВХЕФУС n ПРЕТБГЙК ДЕМЕОЙС.

4.оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ b(ik) ÐÒÉ i = k +1 : : : k +k1 k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (4.8) ФТЕВХЕФУС n k1 + O(1) ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ ПРЕТБГЙК ЧЩЮЙФБОЙС.

йФБЛ, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ РТБЧЩИ ЮБУФЕК yk k = 1 : : : n УЙУФЕНЩ (4.9) ФТЕВХЕФУС n(k1 + 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТСНПК ИПД НЕФПДБ зБХУУБ ФТЕВХЕФ n(k1 k2 + k1 + k2 +1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

5. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС РП ЖПТНХМБН (4.10) (Ф.Е. ОБ РТПЧЕДЕОЙЕ ПВТБФОПЗП ИПДБ НЕФПДБ зБХУУБ) ФТЕВХЕФУС n k2 + O(1) ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ ПРЕТБГЙК ЧЩЮЙФБОЙС.

уМЕДПЧБФЕМШОП, НЕФПД зБХУУБ ФТЕВХЕФ n(k1 k2 + k1 +2 k2 +1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧ- ОЩИ ПРЕТБГЙК Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. чУЕЗП: 2n(k1 k2 + k1 +2 k2 +1) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.

бОБМПЗЙЮОПЕ УПЛТБЭЕОЙЕ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ТБВПФЩ НПЦЕФ ВЩФШ РТПЙЪЧЕДЕОП ДМС БМЗПТЙФНБ LU -ТБЪМПЦЕОЙС.

x 5.2. бМЗПТЙФН LU -ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ

рХУФШ ФТЕВХЕФУС ФТЕИДЙБЗПОБМШОХА НБФТЙГХ ЧЙДБ

2. ъБФЕН ОБИПДЙФУС ТЕЫЕОЙЕ y МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ L y = b РХФЕН РПУМЕДПЧБ- ФЕМШОПЗП ЙУЛМАЮЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ, ОБЮЙОБС У РЕТЧПЗП ХТБЧОЕОЙС:

y1 = b1=l1 yi = (bi ; i;1yi;1)=li i = 2 : : : n: (4)

оБ ЬФПН ЬФБРЕ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й 2(n ; 1) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

3. йУЛПНЩК ЧЕЛФПТ x ОБИПДЙФУС ЛБЛ ТЕЫЕОЙЕ МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ U x = y РХФЕН РПУМЕДПЧБФЕМШОПЗП ЙУЛМАЮЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ, ОБЮЙОБС У РПУМЕДОЕЗП ХТБЧ- ОЕОЙС:

оБ ЬФПН ЬФБРЕ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й n; 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧ- ОЩИ ПРЕТБГЙК.

уЛМБДЩЧБС ПГЕОЛЙ ФТХДПЕНЛПУФЙ ОБ ЛБЦДПН ЫБЗЕ, ОБИПДЙН, ЮФП ДМС ПУХЭЕУФЧМЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ 3(n ; 1) БДДЙФЙЧОЩИ Й 5(n ; 1) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

ъБНЕЮБОЙЕ 1. иТБОЕОЙЕ Ч РБНСФЙ ьчн НБФТЙГ A, L É U . нБФТЙГХ ЧЙДБ (1) Ч РБНСФЙ ьчн ПВЩЮОП ОЕ ИТБОСФ. чНЕУФП ЬФПЗП ЪБРПНЙОБАФ ЧЕЛФПТБ

a = (a1 : : : an)t c = (c1 : : : cn;1)t d = (d1 : : : dn;1)t . бОБМПЗЙЮОП, ЧНЕУФП НБФТЙГЩ L ИТБОСФУС ЧЕЛФПТБ l = (l1 : : : ln)t = ( 1 : : : n;1)t , Б ЧНЕУФП НБФТЙГЩ

U { ЧЕЛФПТ u = (u1 : : : un;1)t . лБЛ Й Ч ПВЩЮОПН БМЗПТЙФНЕ LU -ТБЪМПЦЕОЙС, НБФТЙГЩ L É U НПЦОП ИТБОЙФШ ОБ НЕУФЕ НБФТЙГЩ A : ЧЕЛФПТ l { ОБ НЕУФЕ ЧЕЛФПТБ a , ЧЕЛФПТ { ОБ НЕУФЕ d , u { ОБ НЕУФЕ c.

ъБНЕЮБОЙЕ 2. чУРПНПЗБФЕМШОЩК ЧЕЛФПТ y Ч РТЙЧЕДЕООПН ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ НПЦЕФ ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕЛФПТБ x. ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ЖПТНХМ (4), (5), ЛПФПТЩЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ

x1 = b1=l1 xi = (bi ; i;1xi;1)=li i = 2 : : : n xi := xi ;uixi+1 i = n;1 : : : 1:

x 5.3. нЕФПД РТПЗПОЛЙ ДМС ФТЕИДЙБЗПОБМШОЩИ НБФТЙГ

рХУФШ ФТЕВХЕФУС ФТЕИДЙБЗПОБМШОХА НБФТЙГХ A ЧЙДБ (1) РТЕДУФБЧЙФШ Ч ЧЙДЕ A = LU , ÇÄÅ

ч ПФМЙЮЙЕ ПФ LU -ТБЪМПЦЕОЙС, ЬФП РТЕДУФБЧМЕОЙЕ ОЕ ЕДЙОУФЧЕООП. рЕТЕНОПЦБС НБФТЙГЩ L É U , ОБИПДЙН ХТБЧОЕОЙС ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПЧ li vi ui :

пФУАДБ РПМХЮБЕН ТБУЮЕФОЩЕ ЖПТНХМЩ:

йЪ РПУМЕДОЕЗП ХТБЧОЕОЙС Ч (7) НЩ НПЦЕН ПРТЕДЕМЙФШ ФПМШЛП РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ lnvn . ъБЖЙЛУЙТПЧБЧ ПДЙО ЙЪ РБТБНЕФТПЧ ln ÉÌÉ vn , НЩ ПРТЕДЕМЙН ЧФПТПК. нЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП vn = 1 . ч ЬФПН УМХЮБЕ, ЛПМЙЮЕУФЧП БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНПЕ ДМС ПУХЭЕУФЧМЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС РП ЖПТНХМБН (7) ТБЧОП ЛПМЙЮЕУФЧХ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНПНХ ДМС ПУХЭЕУФЧМЕОЙС ТБЪМПЦЕОЙС РП ЖПТНХМБН (3).

тЕЫЕОЙЕ МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ A x = b НПЦЕФ ВЩФШ ПУХЭЕУФЧМЕОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

1.чОБЮБМЕ УФТПЙФУС LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ A РП ЖПТНХМБН (7), ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й 2(n ; 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

2.ъБФЕН ОБИПДЙФУС ТЕЫЕОЙЕ y МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ L y = b РХФЕН РПУМЕДПЧБ- ФЕМШОПЗП ЙУЛМАЮЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ, ОБЮЙОБС У РЕТЧПЗП ХТБЧОЕОЙС:

оБ ЬФПН ЬФБРЕ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й (n ; 1) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

3. йУЛПНЩК ЧЕЛФПТ x ОБИПДЙФУС ЛБЛ ТЕЫЕОЙЕ МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ U x = y РХФЕН РПУМЕДПЧБФЕМШОПЗП ЙУЛМАЮЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ, ОБЮЙОБС У РПУМЕДОЕЗП ХТБЧ- ОЕОЙС:

оБ ЬФПН ЬФБРЕ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ n ; 1 БДДЙФЙЧОЩИ Й 2(n ; 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК (У ХЮЕФПН vn = 1).

уЛМБДЩЧБС ПГЕОЛЙ ФТХДПЕНЛПУФЙ ОБ ЛБЦДПН ЫБЗЕ, ОБИПДЙН, ЮФП ДМС ПУХЭЕУФЧМЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС РТПЙЪЧЕУФЙ 3(n ; 1) БДДЙФЙЧОЩИ Й 5(n ; 1) + 1 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.

ъБНЕЮБОЙЕ 3. иТБОЕОЙЕ Ч РБНСФЙ ьчн НБФТЙГ A, L É U ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ФБЛ, ЛБЛ ПРЙУБОП Ч ъБНЕЮБОЙЙ 1. чНЕУФП НБФТЙГЩ A ЪБРПНЙОБАФ ЧЕЛФПТБ

(u1 : : : un;1)t . бОБМПЗЙЮОП БМЗПТЙФНХ LU -ТБЪМПЦЕОЙС, НБФТЙГЩ L É U НПЦОП ИТБОЙФШ ОБ НЕУФЕ НБФТЙГЩ A : ЧЕЛФПТ l { ОБ НЕУФЕ ЧЕЛФПТБ a , ЧЕЛФПТ v { ОБ НЕУФЕ d (РПУМЕДОСС, ОЕ ПРТЕДЕМСЕНБС ПДОПЪОБЮОП ЛПНРПОЕОФБ vn ЧЕЛФПТБ v ОЕ ИТБОЙФУСR ЕЕ НПЦОП УЮЙФБФШ ТБЧОПК 1), u { ОБ НЕУФЕ c.

ъБНЕЮБОЙЕ 4. чУРПНПЗБФЕМШОЩК ЧЕЛФПТ y Ч РТЙЧЕДЕООПН ЧЩЫЕ БМЗПТЙФНЕ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ НПЦЕФ ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕЛФПТБ x. ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ЖПТНХМ (8), (9), ЛПФПТЩЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Ч ЧЙДЕ

x1 = b1=l1 xi = (bi ;xi;1)=li i = 2 : : : n xi := (xi ;uixi+1)=vi i = n;1 : : : 1:

(ЪДЕУШ УЮЙФБЕФУС vn = 1 .)

x 6. ъбдбюб пвтбэеойс нбфтйгщ

тБУУНПФТЙН ЪБДБЮХ ОБИПЦДЕОЙС НБФТЙГЩ, ПВТБФОПК Л ДБООПК.

уМХЮБК РТПЙЪЧПМШОПЗП БМЗПТЙФНБ. рХУФШ { ОЕЛПФПТЩК БМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН ЧЙДБ A x = b , ÔÁË, ÞÔÏ x = (A b). фПЗДБ j -К УФПМВЕГ

ПТФ УФБОДБТФОПЗП ВБЪЙУБ. еУМЙ БМЗПТЙФН ФТЕВХЕФ ДМС УЧПЕЗП РТПЧЕДЕОЙС d(n) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ФП ЬФПФ УРПУПВ ОБИПЦДЕОЙС ПВТБФОПК НБФТЙГЩ РПФТЕВХЕФ n d(n) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК. оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ { ЬФП НЕФПД зБХУУБ, ФП

РПФТЕВХЕФУС 2=3 n4 + O(n3) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.

уМХЮБК УРЕГЙБМШОПЗП БМЗПТЙФНБ. нОПЗЙЕ БМЗПТЙФНЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН (Ч ЮБУФОПУФЙ, ЧУЕ БМЗПТЙФНЩ, ТБУУНБФТЙЧБЕНЩЕ ОБНЙ) ПВМБДБАФ УМЕДХАЭЙН УЧПКУФЧПН: БМЗПТЙФН (РП ЛТБКОЕК НЕТЕ ЕЗП УБНБС ФТХДПЕНЛБС У ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ЮБУФШ) УПУФПЙФ Ч РТПЧЕДЕОЙЙ ОБД УЙУФЕНПК РТЕПВТБЪПЧБОЙК, ЛПФПТЩЕ ЧЩРПМОСАФУС ОБД НБФТЙГЕК УЙУФЕНЩ Й РТБЧПК ЮБУФША ОЕЪБЧЙУЙНП. ьФБ ПУПВЕООПУФШ РПЪЧПМСЕФ ЧНЕУФП РТБЧПК ЮБУФЙ { ЧЕЛФПТБ b { ТБУУНБФТЙЧБФШ ОБВПТ РТБЧЩИ ЮБУФЕК, Ф.Е. НБФТЙГХ B . рТЕПВТБЪПЧБОЙС БМЗПТЙФНБ ЧЩРПМОСАФУС ОБД НБФТЙГЕК УЙУФЕНЩ Й ОБВПТПН РТБЧЩИ ЮБУФЕК. фБЛЙН ПВТБЪПН, ФБЛПК БМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ Ax = b НПЦЕФ ВЩФШ РТЕПВТБЪПЧБО Ч БМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС НБФТЙЮОПЗП ХТБЧОЕОЙС AX = B , ÇÄÅ X B { n n НБФТЙГЩ. пВЩЮОП БМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС УЙУФЕНЩ Ax = b ФТЕВХЕФ O(n3) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС РТП- ЧЕДЕОЙС РТЕПВТБЪПЧБОЙК ОБД НБФТЙГЕК Й O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС РТПЧЕДЕОЙС РТЕПВТБЪПЧБОЙК ОБД РТБЧПК ЮБУФША. рПЬФПНХ БМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС НБФТЙЮОПК УЙУФЕНЩ AX = B ФТЕВХЕФ O(n3) + n O(n2) = O(n3) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.

йУРПМШЪПЧБОЙЕ LU -ТБЪМПЦЕОЙС ДМС ПВТБЭЕОЙС НБФТЙГЩ. рХУФШ ДМС НБФТЙГЩ A ЧПЪНПЦОП ПУХЭЕУФЧЙФШ LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ. дЕКУФЧЙФЕМШОП, ЕУМЙ A = LU , ÔÏ A;1 = U;1L;1 . нБФТЙГЩ, ПВТБФОЩЕ Л L É U , УФТПСФУС, ОБРТЙНЕТ, ПРЙУБООЩН ЧЩЫЕ УРПУПВПН. рПУЛПМШЛХ УЙУФЕНЩ У НБФТЙГБНЙ L É U ТЕЫБАФУС НЕФПДПН РПУМЕДПЧБФЕМШОПЗП ЙУЛМАЮЕОЙС ОЕЙЪЧЕУФОЩИ ЪБ УППФЧЕФУФЧЕООП n(n ; 1) + n = n2 +O(n) É n(n;1) = n2 +O(n) ДЕКУФЧЙК (УН. ЖПТНХМЩ (4.10)), ФП НБФТЙГЩ U;1 É L;1 НПЗХФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОЩ У ЪБФТБФПК n3 + O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК. уМЕДПЧБФЕМШОП, ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВТБФОПК НБФТЙГЩ ФТЕВХЕФУС: 2=3 n3 + O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС РПУФТПЕОЙС LU -ТБЪМПЦЕОЙС, n3 + O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС U;1 É L;1 , n3 + O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС A;1 = U;1L;1 R ЧУЕЗП: 8=3 n3 + O(n2) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК.

x 7. нефпд збхууб у чщвптпн змбчопзп ьменеофб

фЕПТЕНБ 4.1 РПЛБЪЩЧБЕФ, ЮФП НЕФПД зБХУУБ Ч ЙЪМПЦЕООПН ЧЩЫЕ ЧЙДЕ РТЙНЕОЙН ОЕ ЛП ЧУЕН ОЕЧЩТПЦДЕООЩН НБФТЙГБН. оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ Ч УЙУФЕНЕ (4.1) a11 = 0, ФП ОЕМШЪС ПУХЭЕУФЧЙФШ РЕТЧЩК ЦЕ ЫБЗ БМЗПТЙФНБ. нПДЕТОЙЪЙТХЕН БМЗПТЙФН УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН.

хТБЧОЕОЙС Ч УЙУФЕНЕ (4.1) ТБЧОПРТБЧОЩ, НЩ НПЦЕН ЙИ ЪБОХНЕТПЧБФШ Ч РТПЙЪ- ЧПМШОПН РПТСДЛЕ. рТЙУЧПЙН ОПНЕТ 1 ФПНХ ХТБЧОЕОЙА, Ч ЛПФПТПН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ x1 ПФМЙЮЕО ПФ 0. еУМЙ ФБЛПЗП ХТБЧОЕОЙС ОЕ ОБЫМПУШ, ФП НБФТЙГБ A ЙНЕЕФ ОХМЕЧПК РЕТЧЩК УФПМВЕГ, Ф.Е. ЧЩТПЦДЕОБ. рПУМЕ ЬФПК РЕТЕОХНЕТБГЙЙ ХТБЧОЕОЙК НЩ УДЕМБЕН РЕТЧЩК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ, Ф.Е. РЕТЕКДЕН ПФ УЙУФЕНЩ (4.1) Л УЙУФЕ-

НЕ (4.3). дБМЕЕ Ч РПДНБФТЙГЕ A(1) = (a(1)ij )i =2 2 Mn;1 РТЙУЧПЙН ОПНЕТ 2 ФПНХ ХТБЧОЕОЙА, Ч ЛПФПТПН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ x2 ПФМЙЮЕО ПФ 0, Й УДЕМБЕН УМЕДХАЭЙК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ. ъБФЕН ЬФПФ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ A(2) 2 Mn;2 Й ФБЛ ДБМЕЕ.

еУМЙ ХТБЧОЕОЙК, Ч ЛПФПТЩИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ x1 ПФМЙЮЕО ПФ 0, ОЕУЛПМШЛП, ФП У ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ОЕ ВЕЪТБЪМЙЮОП, ЛБЛПЕ ЙЪ ЬФЙИ ХТБЧОЕОЙК РПМХЮЙФ

ОПНЕТ 1. рХУФШ РПЗТЕЫОПУФШ Ч ЬМЕНЕОФЕ aij НБФТЙГЩ A ТБЧОБ "ij , Ф.Е. ЧНЕУФП

ФПЮОПК НБФТЙГЩ ТБУУНБФТЙЧБЕФУС НБФТЙГБ ^, ЬМЕНЕОФЩ ЛПФПТПК УПДЕТЦБФ

A A

ЧЩЮЙУМЙФЕМШОЩЕ РПЗТЕЫОПУФЙ: a^ij = aij + "ij . дМС РТПУФПФЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЬМЕНЕОФЩ РЕТЧПЗП УФПМВГБ ЙЪЧЕУФОЩ ФПЮОП: "i1 = 0 i = 1 : : : n. йЪ ЖПТНХМ ДМС ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ A(1) (ÓÍ. (4.8), (4.6)):

ьФЙ ТБЧЕОУФЧБ РПЛБЪЩЧБАФ, ЛБЛ РТЕПВТБЪХЕФУС РПЗТЕЫОПУФШ РПУМЕ ЫБЗБ БМЗП-

ТЙФНБ. йЪ УППФОПЫЕОЙК (1) ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП ЕУМЙ ПФОПЫЕОЙЕ ai1 ПЮЕОШ ЧЕМЙЛП, ФП

a11

ЧЩЮЙУМЙФЕМШОБС РПЗТЕЫОПУФШ, ЧОПУЙНБС ОБ ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ, НПЦЕФ ВЩФШ ОЕДПРХУФЙНП ВПМШЫПК.

йЪ (1) УМЕДХЕФ, ЮФП РПЗТЕЫОПУФШ ВХДЕФ ОБЙНЕОШЫЕК, ЕУМЙ НПДХМШ ПФОПЫЕОЙС

ai1 ОБЙНЕОШЫЙК ЙЪ ЧПЪНПЦОЩИ. ьФП ВХДЕФ Ч ФПН УМХЮБЕ, ЕУМЙ a11 { ОБЙВПМШ-

a11

ЫЙК РП НПДХМА ЬМЕНЕОФ Ч РЕТЧПН УФПМВГЕ. рПЬФПНХ ПРЙУБООЩК ЧЩЫЕ БМЗПТЙФН РТЕПВТБЪХЕН Л УМЕДХАЭЕНХ ЧЙДХ.

рТЙУЧПЙН ОПНЕТ 1 ФПНХ ХТБЧОЕОЙА, Ч ЛПФПТПН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ x1 ОБЙВПМШЫЙК РП НПДХМА. ьФПФ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС, ФБЛ ЛБЛ РТПФЙЧОПЕ ПЪОБЮБМП ВЩ, ЮФП НБФТЙГБ A ЙНЕЕФ ОХМЕЧПК РЕТЧЩК УФПМВЕГ, Ф.Е. ЧЩТПЦДЕОБ. рПУМЕ ЬФПК РЕТЕОХНЕТБГЙЙ ХТБЧОЕОЙК НЩ УДЕМБЕН РЕТЧЩК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ, Ф.Е. РЕТЕКДЕН ПФ УЙУФЕНЩ (4.1) Л УЙУФЕНЕ (4.3). дБМЕЕ Ч РПДНБФТЙГЕ A(1) = (a(1)ij )i =2 2 Mn;1 РТЙУЧПЙН ОПНЕТ 2 ФПНХ ХТБЧОЕОЙА, Ч ЛПФПТПН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ x2 ОБЙВПМШЫЙК РП НПДХМА, Й УДЕМБЕН УМЕДХАЭЙК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ. ъБФЕН ЬФПФ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ A(2) 2 Mn;2 Й ФБЛ ДБМЕЕ. ьФПФ БМЗПТЙФН ОБЪЩЧБЕФУС

НЕФПДПН зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФПМВГХ.

нПЦОП РТЕПВТБЪПЧБФШ НЕФПД зБХУУБ Й РП-ДТХЗПНХ. оЕЙЪЧЕУФОЩЕ Ч УЙУФЕНЕ (4.1) ТБЧОПРТБЧОЩ, НЩ НПЦЕН ЙИ ЪБОХНЕТПЧБФШ Ч РТПЙЪЧПМШОПН РПТСДЛЕ. рТЙУЧПЙН ОПНЕТ 1 ФПК ОЕЙЪЧЕУФОПК, РТЙ ЛПФПТПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ Ч РЕТЧПК УФТПЛЕ ПФМЙЮЕО ПФ 0. еУМЙ ФБЛПК ОЕЙЪЧЕУФОПК ОЕ ОБЫМПУШ, ФП НБФТЙГБ A ЙНЕЕФ ОХМЕЧХА РЕТ- ЧХА УФТПЛХ, Ф.Е. ЧЩТПЦДЕОБ. рПУМЕ ЬФПК РЕТЕОХНЕТБГЙЙ ОЕЙЪЧЕУФОЩИ НЩ УДЕМБЕН РЕТЧЩК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ, Ф.Е. РЕТЕКДЕН ПФ УЙУФЕНЩ (4.1) Л УЙУФЕНЕ (4.3). дБМЕЕ

Ч РПДНБФТЙГЕ A(1) = (a(1)ij )i =2 Mn;1 РТЙУЧПЙН ОПНЕТ 2 ФПК ОЕЙЪЧЕУФОПК,

2 (1)

РТЙ ЛПФПТПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ Ч РЕТЧПК УФТПЛЕ НБФТЙГЩ A (Ф.Е. ЧП ЧФПТПК УФТПЛЕ НБФТЙГЩ A) ПФМЙЮЕО ПФ 0, Й УДЕМБЕН УМЕДХАЭЙК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ. ъБФЕН ЬФПФ

РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ A(2) 2 Mn;2 Й ФБЛ ДБМЕЕ.

еУМЙ ОЕЙЪЧЕУФОЩИ, РТЙ ЛПФПТЩИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ПФМЙЮЕО ПФ 0, ОЕУЛПМШЛП, ФП У ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ОЕ ВЕЪТБЪМЙЮОП, ЛБЛБС ЙЪ ОЙИ РПМХЮЙФ ОПНЕТ 1. тБУУХЦДЕОЙСНЙ, БОБМПЗЙЮОЩНЙ ЧЩЫЕРТЙЧЕДЕООЩН, НПЦОП ХУФБОПЧЙФШ, ЮФП РПЗТЕЫОПУФШ, ЧОПУЙНБС ОБ ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ, ВХДЕФ НЙОЙНБМШОПК, ЕУМЙ ЕУМЙ a11 { ОБЙВПМШЫЙК РП НПДХМА ЬМЕНЕОФ Ч РЕТЧПК УФТПЛЕ. рПЬФПНХ ПРЙУБООЩК ЧЩЫЕ БМЗПТЙФН РТЕПВТБЪХЕН Л УМЕДХАЭЕНХ ЧЙДХ.

рТЙУЧПЙН ОПНЕТ 1 ФПК ОЕЙЪЧЕУФОПК, РТЙ ЛПФПТПК ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ Ч РЕТЧПК УФТПЛЕ ОБЙВПМШЫЙК РП НПДХМА. ьФПФ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС, ФБЛ ЛБЛ РТПФЙЧОПЕ ПЪОБЮБМП ВЩ, ЮФП НБФТЙГБ A ЙНЕЕФ ОХМЕЧХА РЕТЧХА УФТПЛХ, Ф.Е. ЧЩ- ТПЦДЕОБ. рПУМЕ ЬФПК РЕТЕОХНЕТБГЙЙ ОЕЙЪЧЕУФОЩИ НЩ УДЕМБЕН РЕТЧЩК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ, Ф.Е. РЕТЕКДЕН ПФ УЙУФЕНЩ (4.1) Л УЙУФЕНЕ (4.3). дБМЕЕ Ч РПДНБФТЙГЕ

ОБЙВПМШЫЙК РП НПДХМА, Й УДЕМБЕН УМЕДХАЭЙК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ. ъБФЕН ЬФПФ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ A(2) 2 Mn;2 Й ФБЛ ДБМЕЕ. ьФПФ БМЗПТЙФН

ОБЪЩЧБЕФУС НЕФПДПН зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФТПЛЕ.

дМС ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ ЙУРПМШЪХАФ УМЕДХАЭХА ЛПНВЙОБГЙА РТЙЧЕДЕООЩИ ЧЩЫЕ НЕФПДПЧ. ч ЛБЮЕУФЧЕ a11 ЧЩВЙТБЕФУС ЬМЕНЕОФ, ЙНЕАЭЙК ОБЙВПМШЫЙК НПДХМШ УТЕДЙ ЧУЕИ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ. еУМЙ ЬФПФ ЬМЕНЕОФ ЕУФШ aij , ФП НЕОСАФУС ОПНЕТБ Х 1-К Й i-К УФТПЛ Й Х 1-ЗП Й j -ЗП УФПМВГПЧ. рПУМЕ ЬФПК РЕТЕОХНЕТБГЙЙ ХТБЧОЕОЙК Й ОЕЙЪЧЕУФОЩИ ДЕМБЕФУС РЕТЧЩК ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ, Ф.Е. ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РЕТЕИПД ПФ УЙУФЕНЩ (4.1) Л УЙУФЕНЕ (4.3). дБМЕЕ Ч РПДНБФТЙ-

НБФТЙГЩ A ). ъБФЕН ЬФПФ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ A(2) 2 Mn;2 Й ФБЛ ДБМЕЕ. ьФПФ БМЗПТЙФН ОБЪЩЧБЕФУС НЕФПДПН зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ

РП ЧУЕК НБФТЙГЕ.

чЩЮЙУМЙН ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ (РП УТБЧОЕОЙА У ПВЩЮОЩН НЕФПДПН зБХУУБ) ЪБФТБФЩ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК ТБВПФЩ ОБ ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ РП ЬФЙН БМЗПТЙФНБН. оБ k -ÏÍ ÛÁÇÅ (k = 1 : : : n) НЕФПДБ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФПМВГХ ЙМЙ УФТПЛЕ ФТЕВХЕФУС n;k ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГЩ A ДМС ОБИПЦДЕОЙС НБЛУЙНБМШОПЗП РП НПДХМА ЬМЕНЕОФБ. ч НЕФПДЕ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП ЧУЕК НБФТЙГЕ ЬФП ЮЙУМП ТБЧОП (n;k)2 . уМЕДПЧБФЕМШОП, Ч РЕТЧЩИ ДЧХИ

НЕФПДБИ ДПРПМОЙФЕМШОП ФТЕВХЕФУС Pn (n ; k) = n(n ; 1)=2 = O(n2) (n ! 1)

k=1

ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС, Б Ч РПУМЕДОЕН НЕФПДЕ { Pnk=1(n ; k)2 = (n ; 1)n(2n ; 1)=6 = n3=3 + O(n2) (n ! 1) ПРЕТБГЙК УТБЧОЕОЙС.

оБ ВПМШЫЙОУФЧЕ ьчн ПРЕТБГЙС УТБЧОЕОЙС ДЧХИ ЮЙУЕМ У РМБЧБАЭЕК ФПЮЛПК ЧЩРПМОСЕФУС ЪБ ЧТЕНС, РП РПТСДЛХ ТБЧОПЕ ЧТЕНЕОЙ ЧЩЮЙФБОЙС ЬФЙИ ЮЙУЕМ. (ьФП УЧСЪБОП У ФЕН, ЮФП ЧНЕУФП УТБЧОЕОЙС ДЧХИ ЮЙУЕМ ЧЩРПМОСЕФУС ПРЕТБГЙС ЧЩЮЙФБОЙС ПДОПЗП ЮЙУМБ ЙЪ ДТХЗПЗП Й УТБЧОЕОЙС ТЕЪХМШФБФБ У ОХМЕН. рПУЛПМШЛХ УБН ТЕЪХМШФБФ ОЙЗДЕ ОЕ ЪБРПНЙОБЕФУС Й ПФ ОЕЗП ЙУРПМШЪХЕФУС МЙЫШ ЕЗП ЪОБЛ, ФП ПРЕТБГЙС УТБЧОЕОЙС ПВЩЮОП ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ВЩУФТЕЕ ПРЕТБГЙЙ ЧЩЮЙФБОЙС, ПДОБЛП УМЕДХАЭБС ЪБ ПРЕТБГЙЕК УТБЧОЕОЙС ЛПНБОДБ ХУМПЧОПЗП РЕТЕИПДБ У МЙИЧПК ЛПНРЕОУЙТХЕФ ЬФХ ТБЪОЙГХ.) рПЬФПНХ Ч НЕФПДЕ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФПМВГХ ЙМЙ УФТПЛЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ПРЕТБГЙК БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙ ФП ЦЕ, ЮФП Ч ПВЩЮОПН НЕФПДЕ зБХУУБ: 2=3 n3 +O(n2). ч НЕФПДЕ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП ЧУЕК НБФТЙГЕ ЛПМЙЮЕУФЧП ПРЕТБГЙК БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙ Ч РПМФПТБ ТБЪБ ВПМШЫЕ, ЮЕН Ч ПВЩЮОПН НЕФПДЕ зБХУУБ: n3 + O(n2). рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ ЬФПФ НЕФПД ПВЩЮОП РТЙНЕОСЕФУС ФПЗДБ, ЛПЗДБ У РПНПЭША ДТХЗЙИ НЕФПДПЧ ОЕ ХДБМПУШ РПМХЮЙФШ РТЙЕНМЕНПЗП РП ФПЮОПУФЙ ТЕЪХМШФБФБ ЙЪ-ЪБ УЙМШОПЗП ТПУФБ ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ (ФБЛБС УЙФХБГЙС ЧПЪОЙЛБЕФ, ЕУМЙ НБФТЙГБ A ЙНЕЕФ ВПМШЫПЕ ЮЙУМП ПВХУМПЧМЕООПУФЙ).

фЕПТЕНБ 1. нЕФПД зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФПМВГХ ПУХЭЕУФЧЙН ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ det A =6 0.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. ыБЗ НЕФПДБ зБХУУБ РЕТЕЧПДЙФ ОЕЧЩТПЦДЕООХА НБФТЙГХ

Ч ОЕЧЩТПЦДЕООХА. дЕКУФЧЙФЕМШОП, РПУМЕ РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГЩ (4.4) Л НБФТЙГЕ (4.7) РП ЖПТНХМБН (4.6), (4.8) ПРТЕДЕМЙФЕМШ НБФТЙГЩ (4.4) ТБЧЕО ПРТЕДЕМЙФЕМА

НБФТЙГЩ (4.7), ХНОПЦЕООПНХ ОБ a(kkk;1) (НОПЦЙФЕМШ ЧПЪОЙЛБЕФ РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙЙ РП ЖПТНХМБН (4.6), РТЙ РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ НБФТЙГЩ РП ЖПТНХМБН (4.8) ПРТЕДЕМЙФЕМШ ОЕ ЙЪНЕОСЕФУС, ФБЛ ЛБЛ ПОЙ ЪБДБАФ ЬМЕНЕОФБТОЩЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙС НБФТЙГЩ). уПЗМБУОП РТБЧЙМБН ЧЩЮЙУМЕОЙС ПРТЕДЕМЙФЕМЕК, ПРТЕДЕМЙФЕМШ НБФТЙГЩ (4.4), РПМХЮБАЭЕКУС РПУМЕ k ; 1 ЫБЗПЧ НЕФПДБ зБХУУБ, ТБЧЕО ПРТЕДЕМЙФЕМА НБФТЙГЩ

= (a(ijk;1))i =k::: . уМЕДПЧБФЕМШОП, ОЕЧЩТПЦДЕООПУФШ НБФТЙГЩ A ЬЛЧЙЧБ-

МЕОФОБ ОЕЧЩТПЦДЕООПУФЙ НБФТЙГ A(k) ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 : : : n .

пЮЕТЕДОПК, k-К ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФПМВГХ ЧПЪНПЦЕО ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(k;1) ОЕОХМЕЧПК, Ф.Е. ЬФБ НБФТЙГБ ОЕЧЩТПЦДЕОБ (УН. РПДТПВОПЕ ПВПУОПЧБОЙЕ ЬФПЗП РТЙ РПУФТПЕОЙЙ НЕФПДБ).

фБЛЙН ПВТБЪПН, ПУХЭЕУФЧЙНПУФШ ЧУЕИ n ЫБЗПЧ НЕФПДБ зБХУУБ ЬЛЧЙЧБМЕОФОБ ОЕЧЩТПЦДЕООПУФЙ НБФТЙГ A(k) ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 : : : n , ЮФП ЬЛЧЙЧБМЕОФОП ОЕЧЩТПЦДЕООПУФЙ НБФТЙГЩ A.

фЕПТЕНБ 2. нЕФПД зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФТПЛЕ ПУХЭЕУФЧЙН ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ det A =6 0.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП РПЧФПТСЕФ ДПЛБЪБФЕМШУФЧП РТЕДЩДХЭЕК ФЕПТЕНЩ. йЪНЕОЕОЙС ФПМШЛП Ч ФПН, ЮФП ПЮЕТЕДОПК, k -К ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП УФТПЛЕ ЧПЪНПЦЕО ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ РЕТЧБС УФТПЛБ НБФТЙГЩ A(k;1) ОЕОХМЕЧБС, Ф.Е. ЬФБ НБФТЙГБ ОЕЧЩТПЦДЕОБ (УН. РПДТПВОПЕ ПВПУОПЧБОЙЕ ЬФПЗП РТЙ РПУФТПЕОЙЙ НЕФПДБ).

фЕПТЕНБ 3. нЕФПД зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП ЧУЕК НБФТЙГЕ ПУХЭЕУФЧЙН ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ det A =6 0.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП РПЧФПТСЕФ ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ФЕПТЕНЩ 1. йЪНЕОЕОЙС ФПМШЛП Ч ФПН, ЮФП ПЮЕТЕДОПК, k -К ЫБЗ НЕФПДБ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП ЧУЕК НБФТЙГЕ ЧПЪНПЦЕО ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, НБФТЙГБ ОЕОХМЕЧБС (УН. РПДТПВОПЕ ПВПУОПЧБОЙЕ ЬФПЗП РТЙ РПУФТПЕОЙЙ НЕФПДБ).

ъБНЕЮБОЙЕ 1. рТПЗТБННОБС ТЕБМЙЪБГЙС НЕФПДПЧ зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ. рТЙ ТЕБМЙЪБГЙЙ ЬФЙИ НЕФПДПЧ НПЦОП РЕТЕУФБЧМФШ ОЕ УФТП-

ЛЙ ЙМЙ УФПМВГЩ НБФТЙГЩ, Б ЙИ ОПНЕТБ. уДЕМБФШ ЬФП НПЦОП, ОБРТЙНЕТ, УМЕДХАЭЙН УРПУПВПН.

тБУУНПФТЙН НЕФПД зБХУУБ У ЧЩВПТПН ЗМБЧОПЗП ЬМЕНЕОФБ РП ЧУЕК НБФТЙГЕ. рХУФШ НБУУЙЧ indi ДМЙОПК n УПДЕТЦЙФ ОПНЕТ УФТПЛЙ НБФТЙГЩ A, НБУУЙЧ indj ДМЙОПК n УПДЕТЦЙФ ОПНЕТ УФПМВГБ НБФТЙГЩ A. чОБЮБМЕ indi(i)=i, indj(j)=j, i,j= 1 : : : n. пВТБЭЕОЙЕ Л ЬМЕНЕОФБН НБФТЙГЩ A РТПЙУИПДЙФ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЬМЕНЕОФ aij ÅÓÔØ a(indi(i),indj(j)). дМС ФПЗП, ЮФПВЩ РЕТЕУФБЧЙФШ НЕУФБНЙ