Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]

x11. нефпд птфпзпобмйъбгйй

41

ЮФП ПОП ЧЕТОП ДМС ei(k) i = k+1 : : : n. дЕКУФЧЙФЕМШОП, РП РТЕДРПМПЦЕОЙА Х ЧЕЛ-

ÔÏÒÁ e(kk;1)

ФПМШЛП ЛПНРПОЕОФЩ 1 : : : k НПЗХФ ВЩФШ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС. рПЬФПНХ

ЙЪ ЖПТНХМ (5) РПМХЮБЕН, ЮФП ЧЕЛФПТ e(k) РПМХЮБЕФУС ЙЪ ЧЕЛФПТБ e(k;1) ЙЪНЕОЕ-

i

i

ОЙЕН ОЕ ВПМЕЕ ЮЕН РЕТЧЩИ k ЛПНРПОЕОФ. рП РТЕДРПМПЦЕОЙА Х ЧЕЛФПТБ ei(k;1)

ЧПЪНПЦОП ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ФПМШЛП ЛПНРПОЕОФЩ 1 : : : k

;

1 É i. уМЕДПЧБФЕМШОП,

(k)

i =

Õ ei

k + 1 : : : n НПЗХФ ВЩФШ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ЛПНРПОЕОФЩ У ОПНЕТБНЙ

1 : : : k

É i.

уМЕДУФЧЙЕ 1. рП ДПЛБЪБООПНХ Ч МЕННЕ 1 ЧЕЛФПТ e(k)

РПМХЮБЕФУС ЙЪ e(k) ÉÚ-

i

i

НЕОЕОЙЕН ЛПНРПОЕОФ 1 : : : k (ПУФБМШОЩЕ ЛПНРПОЕОФЩ Х ЧЕЛФПТБ e(kk;1) ОХМЕЧЩЕ).

уМЕДПЧБФЕМШОП, Х ЧУЕИ en(k+1) k = 1 : : : n (n+1)-С ЛПНРПОЕОФБ ТБЧОБ 1. рПЬФПНХ

ЧЕЛФПТ e(nn+1)

СЧМСЕФУС ТЕЫЕОЙЕН ЪБДБЮЙ (4).

Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n.

1. ъОБНЕОБФЕМШ

(Ak ek(k;1))

× (5) ÏÔ i ОЕ ЪБЧЙУЙФ Й ЧЩЮЙУМСЕФУС ПДЙО ТБЪ

ДМС ЛБЦДПЗП k. ч УЙМХ МЕННЩ 1 Х ЧЕЛФПТБ ek(k;1) ФПМШЛП ЛПНРПОЕОФЩ 1 : : : k

НПЗХФ ВЩФШ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС, РПЬФПНХ ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ УЛБМСТОПЗП РТПЙЪЧЕДЕОЙС

(Ak e(kk;1)) РПФТЕВХЕФУС k ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й k

1 ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС.

2. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ УЛБМСТОПЗП РТПЙЪЧЕДЕОЙС (Ak ei(;k;1)) Ч (5) РП МЕННЕ 1 РПФТЕ-

ВХЕФУС k ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й k

;

1 ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС (РПУЛПМШЛХ Х ЧЕЛФПТБ

(k;1)

ei

ФПМШЛП ЛПНРПОЕОФЩ 1 : : : k;1 É i НПЗХФ ВЩФШ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС). уМЕДПЧБ-

ФЕМШОП, ОБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЬФЙИ УЛБМСТОЩИ РТПЙЪЧЕДЕОЙК ДМС ЧУЕИ i = k+1 : : : n ÐÏ-

P

P

ФТЕВХЕФУС

n

= k(n;k) ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й

n

i=k+1 k

i=k+1(k;1) = (k;1)(n;k)

ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС.

(Ak ei(k;1))

3. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ДТПВЙ (Ak ek(k;1)) ДМС ЧУЕИ i = k+1 : : : n Ч (5) РПФТЕВХЕФУС

n

k ПРЕТБГЙК ДЕМЕОЙС.

;4. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЧЕЛФПТБ

e(k)

РП ЖПТНХМЕ

(5)

РТЙ ХУМПЧЙЙ, ЮФП ДТПВШ

(Ak ei(k;1))

i

ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОБ, РПФТЕВХЕФУС k ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ

(Ak ek(k;1))

ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС (РПУЛПМШЛХ Ч УЙМХ МЕННЩ 1 Х ЧЕЛФПТБ e(k;1)

ФПМШЛП ЛПНРП-

k

ОЕОФЩ 1 : : : k НПЗХФ ВЩФШ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС). уМЕДПЧБФЕМШОП, ОБ РТПЧЕДЕОЙЕ ЬФЙИ

ЧЩЮЙУМЕОЙК ДМС ЧУЕИ i = k + 1 : : : n РПФТЕВХЕФУС

n

k = k(n

k) ПРЕТБГЙК

Pi=k+1

;

ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС.

йФБЛ, РТЙ ЖЙЛУЙТПЧБООПН k = 1 : : : n ФТХДПЕНЛПУФШ ЖПТНХМ (5) УПУФБЧМСЕФ

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x11. нефпд птфпзпобмйъбгйй

42

P

n

; P3

P 3

2

n (2k(n

k) + n) = 2n

n

k

2

n

k2 + n2

= 2n

n(n + 1)=2

2n(n + 1)(2n +

k=1

2

; 3

2

2

k3=1

;

2

k=1

3

2

;

1)=6 + n

= n

+ O(n )

n + O(n

) = n

=3 + O(n

) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБ-

ÃÉÊ É

P

k=1(2k(n ; k) + 2k ; n ; 1) = n =3 + O(n ) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. фБЛЙН

ПВТБЪПН, НЕФПД ПТФПЗПОБМЙЪБГЙЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙ ФТЕВХЕФ ФБЛПЗП ЦЕ ЛПМЙЮЕУФЧБ

БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК (УХННБТОП

2

n3 +O(n2) (n

! 1

)), ЛБЛ Й НЕФПД зБХУУБ.

3

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

43

x 12.1. нБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС Й ЕЕ УЧПКУФЧБ

пРТЕДЕМЕОЙЕ. ьМЕНЕОФБТОЩН ЧТБЭЕОЙЕН Tij = Tij(') ОБЪЩЧБЕФУС РТЕПВТБ-

ЪПЧБОЙЕ РТПУФТБОУФЧБ, ЪБДБЧБЕНПЕ НБФТЙГЕК Tij = (tkl)kl =1

, Ч ЛПФПТПК ФПМШЛП

УМЕДХАЭЙЕ ЬМЕНЕОФЩ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС: tii

= cos ' tjj

= cos ' tij

=

;

sin ' tji =

sin ' tkk = 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 : : : n k = i j :

0 1 ...

6

1

1

; sin '

cos '

1 ...

Tij =

:

(1)

1

sin '

cos '

B

1 ...

1 C

åÓÌÉ he1 : : : eni @{ ВБЪЙУ Cn ( ek = (0

:

: :

0 1 0 : : : 0)t ),

ÔÏ ATij

СЧМСЕФУС

hei ej|i

k;1

ЧТБЭЕОЙЕН

×

РПДРТПУФТБОУФЧЕ

{zÉ }

ОЕ ЙЪНЕОСЕФ

РПДРТПУФТБОУФЧБ

he1 : : : ei;1 ei+1 : : : ej;1 ej+1 : : : eni (ДТХЗЙНЙ УМПЧБНЙ, Tij ЙЪНЕОСЕФ ФПМШЛП i-

À É j -А ЛППТДЙОБФЩ ЧЕЛФПТПЧ). рПЬФПНХ ДМС ЙЪХЮЕОЙС УЧПКУФЧ РТЕПВТБЪПЧБОЙС

Tij ДПУФБФПЮОП ЙЪХЮЙФШ УЧПКУФЧБ РТЕПВТБЪПЧБОЙС

T =

cos '

; sin '

!

sin '

cos '

Ч ДЧХНЕТОПН РТПУФТБОУФЧЕ.

мЕННБ 1. нБФТЙГБ Tij СЧМСЕФУС ПТФПЗПОБМШОПК НБФТЙГЕК.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. уМЕДХЕФ ЙЪ ПТФПЗПОБМШОПУФЙ НБФТЙГЩ T .

мЕННБ 2. дМС ЧУСЛПЗП ЧЕЛФПТБ r =

x

R2

r = 0 УХЭЕУФХЕФ НБФТЙ-

y! 2

6

ÃÁ T =

cos '

; sin '

ФБЛБС, ЮФП T r =

r

1

!

r

= p

{

k

k

, ÇÄÅ

k

k

x2 + y2

sin '

cos ' !

0

ЕЧЛМЙДПЧБ ДМЙОБ ЧЕЛФПТБ

r. рТЙ ЬФПН ФТХДПЕНЛПУФШ РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ T

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

44

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дПУФБФПЮОП РПМПЦЙФШ

cos ' =

p

x

sin ' = ;

p

y

:

x2 + y2

x2 + y2

мЕННБ 3. дМС ЧУСЛПЗП ЧЕЛФПТБ x

2

Rn x = 0 УХЭЕУФХАФ n

;

1 НБФТЙГ

T12

=

T12('12) T13

6

= T13('13) : : : T1n = T1n('1n), ФБЛЙИ, ЮФП T1n : : : T13T12x =

x

e1

, ÇÄÅ x

=

x 2

=

n

x2

{ ЕЧЛМЙДПЧБ ДМЙОБ ЧЕЛФПТБ x , e1 = (1 0 : : : 0)t

k k

k k

k

k

k=1

k

s P

{ РЕТЧЩК ЛППТДЙОБФОЩК ПТФ.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. еУМЙ ЧЕЛФПТ r =

x1

!

= 0, ФП РП МЕННЕ 2 УХЭЕУФЧХЕФ

x2

НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС

6

T = T ('12) =

cos '12

; sin '12

!

sin '12

cos '12

ФБЛБС, ЮФП T r = krk

1

0!. фПЗДБ НБФТЙГБ

cos '12

; sin '12

1

0 sin '12

cos '12

T12 = T12('12) =

1

...

B

C

1

@

A

РЕТЕЧПДЙФ ЧЕЛФПТ x Ч ЧЕЛФПТ x(2) = T12x = (q

0 x3 : : : xn)t . еУМЙ ЧЕЛФПТ

x12 + x22

x1

r =

x2 ! = 0, ФП РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ ОЕ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС (T12

= I

{ ЕДЙОЙЮОПК

НБФТЙГЕ).

рПУМЕ k ; 1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУÓÁ (k = 1 : : : n ; 1) ЧЕЛФПТ x РТЕПВТБЪПЧБО Л

×ÉÄÕ x(k) = T1k : : : T12x = (qPik=1 x2i 0 : : : 0 xk+1 : : : xn)t . еУМЙ ЧЕЛФПТ

! 2

r =

ik=1 x2i

R2

r = 0

q xk+1

6

P

ФП РП МЕННЕ 2 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ЬМЕНЕОФБТОПЗП ЧТБЭЕОЙС

T = T ('1

+1) =

cos '1

+1

; sin '1

+1

!

sin '1

+1

cos '1

+1

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

45

1

ФБЛБС, ЮФП T r = krk 0!. фПЗДБ НБФТЙГБ

k + 1

0

z

}|

{

1

1

;

cos '1

+1

sin '1

+1

...

T1 +1 = T1 +1('1 +1) =

1

sin '1

+1

cos '1

+1

B

1 ...

C

1

@

A

РЕТЕЧПДЙФ ЧЕЛФПТ x(k) Ч ЧЕЛФПТ

uX

x(k+1) = T1 +1x(k) = T1 +1T1k : : : T12x = (vki=1+1 x2i 0 : : : 0 xk+2 : : : xn)t:

t

еУМЙ ЧЕЛФПТ r = 0, ФП РТЕПВТБЪПЧБОЙЕ ОЕ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС (T1

+1 = I { ЕДЙОЙЮОПК

yk = xk k = 1 : : : n k = i j yi = xi cos 'ij

;

xj sin 'ij yj = xi sin 'ij +xj cos 'ij:

6

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

46

НЕ 3 УХЭЕУФЧХАФ n ;

1 НБФТЙГ T12 = T12('12) T13 = T13('13) : : : T1n = T1n('1n),

ФБЛЙИ, ЮФП T1n : : : T13T12a1 =

ka1k e1

(РТЙЮЕН ЪОБЮЕОЙС ХЗМПЧ '1k k

= 2 : : : n

ПРТЕДЕМСАФУС МЕННБНЙ 2, 3). хНОПЦЙН УЙУФЕНХ A x = b ÎÁ T1n : : : T13T12

УМЕЧБ,

РПМХЮЙН

A(1)x = b(1)

ÇÄÅ

0 k

a1

c12

: : : c1n

1

A(1) = T1n : : : T13T12A =

0 k

a22(1)

: : :

a2(1)n

b(1)

= T1n : : : T13T12b:

B

.

. ... .

C

@

0

an(1)2 : : : ann(1)

A

дБМЕЕ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС Л РПДНБФТЙГЕ (a(1)ij )i =2 .

рХУФШ УДЕМБОЩ k

; 1 k = 1 : : : n ; 1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, Ф.Е. УЙУФЕНБ

РТЕПВТБЪПЧБОБ Л ЧЙДХ

A(k;1)x = b(k;1)

(2)

ÇÄÅ

1

i+1

1

i+1

A(k;1)

=

Y Y

TijA

b(k;1) =

Y Y

Tijb

(3)

i=k;1 j=n

i=k;1 j=n

0 k

a1

k

c12

c13

: : :

c1 ;1

c1k

: : :

c1n

1

ka1(1)k

c23

: : :

c2

;1

c2k

: : :

c2n

a1(2)

: : :

c3

;1

c3k

: : :

c3n

A(k;1) =

k

k ...

.

.

...

.

:

(4)

ka1(k;2)k

ck;1

: : : ck;1

B

akk(k;1) : : : a(knk;1)

C

.

...

.

@

A

a(k;1)

: : : a(k;1)

nk

nn

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

47

Q

(ЪДЕУШ i+1 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УПНОПЦЙФЕМЙ ВЕТХФУС Ч РПТСДЛЕ n : : : i + 1).

j=n

пВПЪОБЮЙН

a(k;1) = (a(k;1) : : : a(k;1))t

(5)

1

kk

nk

{ РЕТЧЩК УФПМВЕГ РПДНБФТЙГЩ (aij(k;1))i =k:::

. уПЗМБУОП МЕННЕ 3 УХЭЕУФЧХАФ n k

НБФТЙГ

;

Tkk +1 = Tkk +1('kk +1) Tkk +2 = Tkk +2('kk +2) : : : Tkn = Tkn('kn)

ФБЛЙИ, ЮФП

Tkn : : : Tkk +2Tkk +1a1(k;1) = ka1(k;1)k e1(n;k+1)

(6)

(ЪОБЮЕОЙС ХЗМПЧ ' j = k + 1 : : : n ПРТЕДЕМСАФУС МЕННБНЙ 2, 3), ЪДЕУШ

e(m) =

kj

1

(1 0 : : : 0)t 2 Rm . хНОПЦЙН УЙУФЕНХ (2) ОБ Tkn : : : Tkk +2Tkk +1 УМЕЧБ, РПМХЮЙН

A(k)x = b(k)

ÇÄÅ

k+1

1

i+1

k+1

1 i+1

A(k) =

Y

TkjA(k;1)

=

Y Y

TijA

b(k) =

Y

Tkjb(k;1) =

Y Y

Tijb

(7)

j=n

i=k j=n

j=n

i=k j=n

0 k

a1

k

c12

c13

: : :

c1 ;1

c1k

c1 +1

: : :

c1n

1

ka1(1)k

c23

: : :

c2

;1

c2k

c2

+1

: : :

c2n

a1(2)

: : : c3

;1

c3k

c3

+1

: : :

c3n

k

k ...

.

.

.

...

.

A(k) =

ka1(k;2)k

ck;1

ck;1 +1

: : : ck;1

:

ka1(k;1)k

ckk +1

: : :

ckn

B

ak(k+1)

+1

: : : ak(k+1)

C

.

...

.

@

A(8)

a(k)

+1

: : : a(k)

n

nn

пФНЕФЙН, ЮФП Ч (7) ЛБЦДБС ЙЪ n

;

k НБФТЙГ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЧТБЭЕОЙК Tkj ФБЛПЧБ,

(k;1)

)i

ÞÔÏ j > k Й РПФПНХ Ч (7) ПОБ ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП ОБ РПДНБФТЙГХ (aij

=k:::

НБФТЙГЩ A(k;1)

ТБЪНЕТБ n ; k + 1 (ПУФБМШОБС ЮБУФШ A(k;1) Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (7)

ОЕ ХЮБУФЧХЕФ).

рПУМЕ n ;

1 ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ Й РТБЧЩИ ЮБУФЕК

(3), (4) Л (7), (8)) УЙУФЕНБ РТЙНЕФ ЧЙД

R x = y

(9)

ÇÄÅ

1

i+1

n;1 i+1

R = A(n;1) =

Y Y

TijA

y

= b(n;1)

=

Y Y

Tij b

(10)

i=n;1 j=n

i=n;1 j=n

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x12. нефпд чтбэеойк

48

0 k

a1

k

c12

c13

: : :

c1 ;2

c1 ;1

c1n

1

ka1(1)k

c23

: : :

c2

;2

c2

;1

c2n

a(2)

: : :

c

;2

c

3

;1

c

k

1

k ...

3

3n

R =

.

.

.

(11)

B

ka1(n;3)k

cn;2 ;1

cn;2

C

ka1(n;2)k

cn;1

@

A

a(n;1)

nn

(ОБРПНОЙН, ПРТЕДЕМЕОЙС ЧЕЛФПТПЧ a1(k;1) k = 1 : : : n

;

1 ДБАФУС Ч (5), ЗДЕ УЮЙ-

ÔÁÅÍ, ÞÔÏ a(0) = a ).

1

1

уЙУФЕНБ (9) У ЧЕТИОЕК ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЕК R ТЕЫБЕФУС ПВТБФОЩН ИПДПН

НЕФПДБ зБХУУБ.