Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]
.pdf
x12. нефпд чтбэеойк |
51 |
|
ВЩ ИТБОЙФШ УБНЙ ЬФЙ ХЗМЩ 'ij , ОП ЬФП ФТЕВХЕФ ЧЩЮЙУМЕОЙС ПВТБФОЩИ ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК, ЮФП ДПЧПМШОП НЕДМЕООП Й ЧОПУЙФ ВПМШЫХА ЧЩЮЙУМЙФЕМШ-
ОХА РПЗТЕЫОПУФШ. оБ РТБЛФЙЛЕ ОБ НЕУФЕ aij j < i i = 2 : : : n j = 1 : : : n ; 1 ИТБОСФ cos 'ij ÉÌÉ sin 'ij { ФПФ ЛПФПТЩК ЙНЕЕФ ОБЙНЕОШЫЙК НПДХМШ. рТЙ ЬФПН
ОБ НЕУФЕ ДЧХИ НМБДЫЙИ ВЙФПЧ НБОФЙУУЩ ЬФПК ЧЕМЙЮЙОЩ ИТБОСФУС РТЙЪОБЛ ФПЗП, ЮФП ВЩМП ЪБРПНОЕОП: sin ЙМЙ cos, Й ЪОБЛ ОЕ ЪБРПНОЕООПК ФТЙЗПОПНЕФТЙЮЕУЛПК ЖХОЛГЙЙ. йЪНЕОЕОЕОЙЕ ДЧХИ НМБДЫЙИ ВЙФПЧ НБОФЙУУЩ Х cos 'ij ÉÌÉ sin 'ij ЧОПУЙФ РПЗТЕЫОПУФШ, ОБНОПЗП НЕОШЫХА ЮЕН РПЗТЕЫОПУФШ, У ЛПФПТПК ПОЙ ЧЩЮЙУМЕОЩ. ъБРПНЙОБОЙЕ ЪОБЮЕОЙС cos 'ij ÉÌÉ sin 'ij У ОБЙНЕОШЫЙН НПДХМЕН ХÍÅÎØ-
ЫБЕФ РПЗТЕЫОÏÓÔØ ÐÒÉ ×ЩЮЙУМЕОЙЙ РП ЖПТНХМБН sin 'ij = q1 ; cos2 'ij ÉÌÉ
cos 'ij = q1 ; sin2 'ij . вПМШЫЙОУФЧП УПЧТЕНЕООЩИ НЙЛТПРТПГЕУУПТПЧ (Intel 80x86, Motorola 68xxx, SPARC, PowerPC) РПДДЕТЦЙЧБАФ УФБОДБТФ ANSI/IEEE 754-1985 РТЙ ТБВПФЕ У ДБООЩНЙ У РМБЧБАЭЕК ФПЮЛПК. дМС ФБЛЙИ РТПГЕУУПТПЧ НМБДЫЙЕ ВЙФЩ НБОФЙУУЩ СЧМСАФУС НМБДЫЙНЙ ВЙФБНЙ ЮЙУМБ У РМБЧБАЭЕК ФПЮЛПК.
рТЙ ЧФПТПН УРПУПВЕ ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ОЕ ФПМШЛП ЬЛПОПНЙФУС n3 СЮЕЕЛ РБНСФЙ, ОП Й ЬЛПОПНЙФУС 2n3 + O(n2) (n ! 1) ХНОПЦЕОЙК Й n3 +O(n2) (n ! 1) УМПЦЕОЙК ОБ РПУФТПЕОЙЕ НБФТЙГЩ Q. чФПТПНХ УРПУПВХ ИТБОЕОЙС ВМБЗПРТЙСФУФЧХЕФ ФБЛЦЕ ФП ПВУФПСФЕМШУФЧП, ЮФП ТЕДЛП ФТЕВХЕФУС ЪОБФШ НБФТЙГХ Q "УБНХ РП УЕВЕ". пВЩЮОП ФТЕВХЕФУС ХНЕФШ ЧЩЮЙУМСФШ ЕЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС ОБ ЧЕЛФПТ Й НБФТЙГХ. дМС ФПЗП, ЮФПВЩ ЧЩЮЙУМЙФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ Q ЧЙДБ (12) ОБ ОЕЛПФПТХА НБФТЙГХ B ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ n(n;1)=2 РТПЙЪЧЕДЕОЙК НБФТЙГ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЧТБЭЕОЙК Tij ÎÁ B :
n;1 n
QB = Y Y (TijB):
i=1 j=i+1
рП МЕННЕ 5 ОБ ЬФП РПФТЕВЕХФУС 2n2(n ; 1) ХНОПЦЕОЙК Й n2(n ; 1) УМПЦЕОЙК. рП УТБЧОЕОЙА У ЛПМЙЮЕУФЧПН ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪЧЕДЕОЙС ДЧХИ НБФТЙГ Q É B РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ, ЮЙУМП ХНОПЦЕОЙК ФХФ Ч 2 ТБЪБ ВПМШЫЕ, Б ЮЙУМП УМПЦЕОЙК УПЧРБДБЕФ. еУМЙ ФБЛЙИ РТПЙЪЧЕДЕОЙК ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ ОЕ ПЮЕОШ НОПЗП, ФП ЧФПТПК УРПУПВ РТЕДРПЮФЙФЕМШОЕЕ РЕТЧПЗП.
x 12.5. пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч БМЗПТЙФНЕ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ЧТБЭЕОЙК
фТХДПЕНЛПУФШ БМЗПТЙФНБ РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС УЛМБДЩЧБЕФУС ЙЪ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК, Й ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ Q.
åÓÌÉ ÄÌÑ Q ЙУРПМШЪХЕФУС ЧФПТПК УРПУПВ ИТБОЕОЙС, ФП ДПРПМОЙФЕМШОЩИ ДЕКУФЧЙК ДМС ЕЕ РПУФТПЕОЙС ОЕ ФТЕВХЕФУС. уМЕДПЧБФЕМШОП, Ч ЬФПН УМХЮБЕ ДМС РПУФТПЕОЙС QR-ТБЪМПЦЕОЙС ОБДП ЧЩРПМОЙФШ 43 n3 +O(n2) (n ! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 23 n3 + O(n2) (n ! 1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
åÓÌÉ ÄÌÑ Q ЙУРПМШЪХЕФУС РЕТЧЩК УРПУПВ ИТБОЕОЙС, ФП ЛБЛ РПЛБЪБОП ЧЩЫЕ |
|||||||||||||||||||||||||
ДМС ЕЕ РПУФТПЕОЙС ДПРПМОЙФЕМШОП Л |
|
4 |
n3 + O(n2) (n |
! 1 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩН |
|||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
É |
3 |
n |
|
+ O(n |
) (n |
! 1 |
) БДДЙФЙЧОЩН ПРЕТБГЙСН, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС РТПЧЕДЕОЙС |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
) ХНОПЦЕОЙК Й n |
3 |
+ |
||||
БМЗПТЙФНБ НЕФПДБ ЧТБЭЕОЙК, ФТЕВХЕФУС 2n |
|
+ O(n ) (n |
! 1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
O(n |
) (n |
! |
|
13 |
) УМПЦЕОЙК, ЧУЕЗП |
3 |
n + O(n ) (n |
! 1 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПРЕТБГЙК Й 3 n |
+ O(n |
) (n |
! 1 |
) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 13. нефпд пфтбцеойк
чУАДХ Ч ДБООПН РБТБЗТБЖЕ РПД ОПТНПК ЧЕЛФПТБ ВХДЕФ РПОЙНБФШУС ЕЧЛМЙДПЧБ ОПТНБ, Б РПД ОПТНПК НБФТЙГЩ { УРЕЛФТБМШОБС ОПТНБ.
мЕННБ 1. уРЕЛФТБМШОБС ОПТНБ ЧУСЛПК ХОЙФБТОПК (ПТФПЗПОБМШОПК Ч ЧЕЭЕУФЧЕООПН УМХЮБЕ) НБФТЙГЩ ТБЧОБ 1.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рПУЛПМШЛХ ХОЙФБТОЩЕ НБФТЙГЩ УПИТБОСАФ ЕЧЛМЙДПЧХ ДМЙОХ ЧЕЛФПТБ, РП ПРТЕДЕМЕОЙА УРЕЛФТБМШОПК ОПТНЩ РПМХЮБЕН ДМС ЧУСЛПК ХОЙФБТОПК НБФТЙГЩ U :
k |
U |
k |
= sup kUxk = sup kxk = 1: |
|
|
x6=0 kxk |
x=06 kxk |
||
мЕННБ 2. уПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЧУСЛПК ХОЙФБТОПК НБФТЙГЩ РП НПДХМА ТБЧОЩ 1.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рХУФШ { РТПЙЪЧПМШОПЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ
U . рП МЕННЕ 1.4 |
j |
|
j k |
U |
k |
= 1 { РП РТЕДЩДХЭЕК МЕННЕ. у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ;1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;1 |
, ЛПФПТБС ФПЦЕ ХОЙФБТОБ. пРСФШ |
|||||||||
СЧМСЕФУС УПВУФЧЕООЩН ЪОБЮЕОЙЕН НБФТЙГЩ U |
|
|
|||||||||||||||||
РП МЕННЕ 1.4 Й МЕННЕ 1 |
j |
;1 |
j k |
U;1 |
k |
= 1, Ô.Å. |
j |
|
j |
1. уМЕДПЧБФЕМШОП, |
j |
= 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|||||||
уПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЧУСЛПК УБНПУПРТСЦЕООПК (УЙННЕФТЙЮОПК Ч ЧЕЭЕУФЧЕООПН УМХЮБЕ) НБФТЙГЩ A (Ф.Е. A = A) ЧЕЭЕУФЧЕООЩ.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рХУФШ { РТПЙЪЧПМШОПЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ НБФТЙГЩ A, x =6 0 { ПФЧЕЮБАЭЙК ЕНХ УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ, Ф.Е. A x = x. хНОПЦЙН ЬФП ТБЧЕОУФЧП УЛБМСТОП ОБ x : (A x x) = (x x), ПФЛХДБ = (A x x)=kxk2 . ч УЙМХ ЪБНЕЮБОЙС 9.1 ЧЩТБЦЕОЙЕ (A x x) ЧЕЭЕУФЧЕООП ДМС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЩ A. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЕЭЕУФЧЕООП.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
|
|
|
|
53 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 13.1. нБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС Й ЕЕ УЧПКУФЧБ |
|||||
|
|
|
пРТЕДЕМЕОЙЕ. нБФТЙГЕК ПФТБЦЕОЙС ОБЪЩЧБЕФУС НБФТЙГБ ЧЙДБ U = U(x) = |
||||||||
I |
|
|
2xx , ÇÄÅ x { ЕДЙОЙЮОЩК ЧЕЛФПТ (Ф.Е. |
x = 1). (оБРПНОЙН, ЮФП x = |
|||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
k k |
t |
"НБФТЙГБ" ТБЪНЕТБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x1 |
: : : xn) { "НБФТЙГБ" ТБЪНЕТБ 1 |
|
n , x = (x1 : : : xn) |
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
||||||
1 Й РПФПНХ xx { НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ n n.) |
|
|
|||||||||
|
|
|
хУФБОПЧЙН ПУОПЧОЩЕ УЧПКУФЧБ НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС. |
|
|
||||||
мЕННБ 4. нБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС СЧМСЕФУС УБНПУПРТСЦЕООПК НБФТЙГЕК.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. чЩЮЙУМЙН УПРТСЦЕООХА НБФТЙГХ ДМС НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС
U(x)
(U(x)) = (I ; 2xx ) = I ; 2(x ) x = I ; 2xx = U(x) ЮФП Й ПЪОБЮБЕФ УБНПУПРТСЦЕООПУФШ НБФТЙГЩ U(x).
мЕННБ 5. нБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС СЧМСЕФУС ХОЙФБТОПК НБФТЙГЕК.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. чЩЮЙУМЙН ДМС НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x)
U(x)U (x)=U(x)2 =(I ;2xx )(I ;2xx )=I ;4xx +4xx xx =I ;4xx +4x1x =I
РПУЛПМШЛХ x x = (x x) = kxk2 = 1. ьФП ТБЧЕОУФЧП Й ПЪОБЮБЕФ ХОЙФБТОПУФШ НБФТЙГЩ U(x).
мЕННБ 6. уПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС ТБЧОЩ МЙВП 1, ÌÉÂÏ
;1.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. йЪ МЕНН 2 Й 4 ЧЩФЕЛБЕФ, ЮФП УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС РП НПДХМА ТБЧОЩ 1. йЪ МЕНН 3 Й 5 УМЕДХЕФ, ЮФП ПОЙ ЧЕЭЕУФЧЕООЩ. ъОБЮЙФ, УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЕУФШ МЙВП 1 МЙВП ;1.
нБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС U(x) ЙНЕЕФ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ;1 ЛТБФОПУФЙ 1, ЛПФПТПНХ ПФЧЕЮБЕФ УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ x, Й УПВУФЧЕООПЕ ЪОБ-
ЮЕОЙЕ 1 ЛТБФОПУФЙ n ; 1, ЛПФПТПНХ ПФЧЕЮБЕФ УПВУФЧЕООПЕ РПДРТПУФТБОУФЧП
: (y x) = 0g.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. йНЕЕН
U(x)x = (I ; 2xx )x = x ; 2xx x = x ; 2x = ;x
РПУЛПМШЛХ x x = (x x) = kxk2 = 1. уМЕДПЧБФЕМШОП, x { УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ, ПФЧЕЮБАЭЙК УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА ;1.
дБМЕЕ, ДМС ЧУЕИ
U(x)y = (I ; 2xx )y = y ; 2xx y = y
РПУЛПМШЛХ x y = (y x) = 0. уМЕДПЧБФЕМШОП, y -УПВУФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ, ПФЧЕЮБАЭЙК УПВУФЧЕООПНХ ЪОБЮЕОЙА 1. фБЛЙЕ ЧЕЛФПТБ y 2 hxi? ПВТБЪХАФ (n ; 1)-НЕТОПЕ РПДРТПУФТБОУФЧП.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
54 |
|
мЕННБ 8. зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙК УНЩУМ РТЕПВТБЪПЧБОЙС, ЪБДБЧБЕНПЗП НБФТЙГЕК
ПФТБЦЕОЙС U(x): ПФТБЦЕОЙЕ ПФОПУЙФЕМШОП ЗЙРЕТРМПУЛПУФЙ hxi? . |
||||||||||||||||||
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. чУСЛЙК ЧЕЛФПТ z |
2 |
Cn |
НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕО Ч ЧЙДЕ |
|||||||||||||||
z = x + y , ÇÄÅ |
y |
x |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
. ъДЕУШ ЛПНРПОЕОФБ x РБТБММЕМШОБ x, Б ЛПНРПОЕОФБ |
|||||||||||||||||
y ПТФПЗПОБМШОБ |
|
|
2 h i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hxi |
? |
. ч УЙМХ МЕННЩ 7 U(x)z = |
|||
x, Ф.Е. МЕЦЙФ Ч ЗЙРЕТРМПУЛПУФЙ |
|
|||||||||||||||||
U(x)( x + y) = |
; |
x + y , Ф.Е. ЧЕЛФПТ z ПФТБЪЙМУС ПФОПУЙФЕМШОП ЗЙРЕТРМПУЛПУФЙ |
||||||||||||||||
hxi? . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мЕННБ 9. рХУФШ e { РТПЙЪЧПМШОЩК ЕДЙОЙЮОЩК ЧЕЛФПТ: |
e = 1. фПЗДБ ДМС |
|||||||||||||||||
ЧУСЛПЗП ЧЕЛФПТБ y |
2 C |
n |
УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕЛФПТ |
x 2 C |
n |
|
k k |
|||||||||||
|
|
kxk = 1 ФБЛПК, ЮФП |
||||||||||||||||
U(x)y = kyke. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. фБЛ ЛБЛ ЧЕЛФПТБ y É |
k |
y |
k |
e ДПМЦОЩ ВЩФШ РПМХЮЕОЩ ДТХЗ ЙЪ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
, ФП ЧЕЛФПТ y;kyke ДПМЦЕО |
|||||
ДТХЗБ ПФТБЦЕОЙЕН ПФОПУЙФЕМШОП ЗЙРЕТРМПУЛПУФЙ hxi |
|
|||||||||||||||||
ВЩФШ РБТБММЕМЕО x, Ô.Å. x = (y ; kyke). лПЬЖЖЙГЙЕОФ ОБКДЕН ЙЪ ХУМПЧЙС |
||||||||||||||||||
kxk = 1. рПМХЮБЕН |
|
|
x = |
|
y |
; kyykee |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
y |
|
|
|
|
|
|||||||
мЕННБ 10. |
|
|
|
|
|
|
; k k k |
|
|
|
|
|
|
|||||
рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС ОБ ЧЕЛФПТ НПЦЕФ ВЩФШ |
||||||||||||||||||
ЧЩЮЙУМЕОП ЪБ 2n + O(1) (n ! 1) УМПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ ХНОПЦЕОЙК (ФПЮОЕЕ,ЪБ 2n + 1 ХНОПЦЕОЙЕ Й 2n ; 1 УМПЦЕОЙЕ).
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. дМС НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x) Й РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЕЛФПТБ
y ЙНЕЕН
U(x)y = (I ; 2xx )y = y ; 2x(x y) = y ; 2x(y x):
оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ УЛБМСТОПЗП РТПЙЪЧЕДЕОЙС (y x) ФТЕВХЕФУС n ХНОПЦЕОЙК Й n ; 1 УМПЦЕОЙЕ. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ = 2(y x) ФТЕВХЕФУС ЕЭЕ ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ МЙОЕКОПК ЛПНВЙОБГЙЙ y ; x ФТЕВХЕФУС n ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК. уЛМБДЩЧБС ЬФЙ ПГЕОЛЙ, ОБИПДЙН, ЮФП ЧУЕЗП ОЕПВИПДЙНП
n + 1 + n = 2n + 1 ХНОПЦЕОЙЕ Й n ; 1 + n = 2n ; 1 УМПЦЕОЙК.
мЕННБ 11. рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x) 2 Mn ОБ НБФТЙГХ ТБЪНЕТБ n m НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙУМЕОП ЪБ 2nm + O(m) (n m ! 1) УМПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ ХНОПЦЕОЙК (ФПЮОЕЕ,ЪБ (2n + 1)m ХНОПЦЕОЙЕ Й (2n ; 1)m УМПЦЕОЙЕ).
дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рХУФШ n m НБФТЙГБ B = U(x)A ЕУФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБ- |
||||||||||||
ФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x) |
2 |
Mn ÎÁ n |
m НБФТЙГХ A. ъБРЙЫЕН НБФТЙГЩ A = (aij) |
|||||||||
|
|
(1) |
: : : a |
(m) |
] B = [b |
(1) |
: : : b |
(m) |
], ÇÄÅ a |
(k) |
= |
|
É B = (bij) ЮЕТЕЪ ЙИ УФПМВГЩ: A = [a |
|
|
|
|
||||||||
(a1k : : : ank)t b(k) = (b1k : : : bnk)t k = 1 : : : m. уПЗМБУОП ПРТЕДЕМЕОЙА РТПЙЪЧЕ- ДЕОЙС НБФТЙГ B = U(x)A = [U(x)a(1) : : : U(x)a(n)], Ô.Å. b(k) = U(x)a(k) k =
1 : : : m. фБЛЙН ПВТБЪПН, ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС НБФТЙГЩ B = U(x)A ОБДП ЧЩЮЙУМЙФШ m РТПЙЪЧЕДЕОЙК U(x)a(k) НБФТЙГЩ U(x) ОБ ЧЕЛФПТБ a(k) k = 1 : : : m. дПЛБЪЩЧБЕНПЕ ХФЧЕТЦДЕОЙЕ ФЕРЕТШ ЧЩФЕЛБЕФ ЙЪ МЕННЩ 10.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 13.2. |
|
|
|
бМЗПТЙФН НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК |
Mn |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
рХУФШ ФТЕВХЕФУС ТЕЫЙФШ МЙОЕКОХА УЙУФЕНХ |
A x = b A |
2 |
×ÉÄÁ (4.1). |
|
||||||||||||||||||||||||||
пВПЪОБЮЙН a1 = (a11 : : : an1) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. уПЗМБУОП МЕН- |
|||||||||||||||
|
{ РЕТЧЩК УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A |
|||||||||||||||||||||||||||||
НЕ 9 УХЭЕУФЧХЕФ ЧЕЛФПТ x(1) |
2 Cn , ТБЧОЩК |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) = |
|
a1 ; ka1ke1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka1 ; ka1ke1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ФБЛПК, ЮФП U(x(1))a1 = |
k |
a1 |
k |
e1 , ÇÄÅ e1 = (1 0 : : : 0) |
2 |
|
Cn , U1 = U(x(1)) { НБФТЙГБ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(x |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ПФТБЦЕОЙС. хНОПЦЙН УЙУФЕНХ A x = b ÎÁ |
|
) УМЕЧБ, РПМХЮЙН |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1)x = b(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
c12 |
: : : c1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A(1) = U(x(1))A = |
|
0 k |
a22(1) |
: : : |
a2(1)n |
|
|
b(1) = U(x(1))b: |
|
|
||||||||||||||||||||
B |
|
|
. |
|
|
. ... . |
C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
an(1)2 |
: : : |
ann(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дБМЕЕ РТПГЕУУ РТЙНЕОСЕФУС |
|
|
Л РПДНБФТЙГЕ (a(1)ij )i =2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
рХУФШ УДЕМБОЩ k ;1 |
k = 1 : : : n ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ, |
|
Ф.Е. УЙУФЕНБ РТЕПВТБ- |
|||||||||||||||||||||||||||
ЪПЧБОБ Л ЧЙДХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(k;1)x = b(k;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A(k;1) = |
|
|
|
|
Ui A b(k;1) = |
|
|
|
|
|
Ui b |
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=k;1 |
|
|
|
|
i=k;1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
a1 |
k |
|
|
c12 |
|
|
c13 |
: : : |
c1 ;1 |
|
|
|
|
c1k |
|
: : : |
c1n |
|
||||||||||||
|
|
|
ka1(1)k |
|
|
c23 |
: : : |
c2 |
;1 |
|
|
|
|
c2k |
|
: : : |
c2n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1(2) |
: : : |
c3 |
;1 |
|
|
|
|
c3k |
|
: : : |
c3n |
|
|
|||||
A(k;1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k ... |
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
... |
. |
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka1(k;2)k |
|
ck;1 |
|
: : : ck;1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
akk(k;1) : : : a(knk;1) |
|
|
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
... |
. |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(k;1) |
|
: : : a(k;1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
nn |
|
|||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ii;1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ui = |
|
|
0 U(x(i)) ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ЪДЕУШ Ii;1 2 Mi;1 { ЕДЙОЙЮОБС НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ (i; |
1) |
(i;1), U(x(i)) 2 Mn;i+1 |
||||||||||||||||||||||||||||
{ НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС ТБЪНЕТБ (n ; i + 1) (n ; i |
+ 1), РПУФТПЕООБС РП ЧЕЛФПТХ |
|||||||||||||||||||||||||||||
x(i) = |
|
|
|
a1(i;1) |
; ka1(i;1)ke1(n;i+1) |
|
2 |
Cn;i+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ka1(i;1) |
; ka1(i;1)ke1(n;i+1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
|||||||||||||||
x13. нефпд пфтбцеойк |
|
|
|
56 |
||
|
|
|
|
|||
ÇÄÅ e1(m) = (1 0 : : : 0) |
2 |
Cm . |
|
|
|
|
пВПЪОБЮЙН |
|
|
|
|
|
|
a(k;1) = (a(k;1) : : : a(k;1))t |
|
|
|
|||
|
2 |
Cn;k+1 |
(4) |
|||
|
1 |
kk |
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|||
{ РЕТЧЩК УФПМВЕГ РПДНБФТЙГЩ (a(ijk;1))i =k::: . уПЗМБУОП МЕННЕ 9 УХЭЕУФЧХЕФ НБФТЙГБ ПФТБЦЕОЙС
U(x(k)) = I ; 2x(k)(x(k)) x(k)
ФБЛБС, ЮФП
U(x(k))a(1k
рПМПЦЙН
Uk =
= |
a1(k;1) |
; ka1(k;1)ke1(n;k+1) |
Cn;k+1 |
(5) |
||
ka1(k;1) |
||||||
|
; ka1(k;1)ke1(n;k+1)k 2 |
|
|
|||
;1) = ka1(k;1)ke1(n;k+1): |
|
(6) |
||||
|
Ik;1 |
0 |
|
|
||
|
0 |
U(xk) ! : |
|
(7) |
||
рПЛБЦЕН, ЮФП НБФТЙГБ Uk СЧМСЕФУС ХОЙФБТОПК, Ф.Е. Uk = Uk;1 . рП РТБЧЙМБН РЕТЕНОПЦЕОЙС ВМПЮОЩИ НБФТЙГ
|
|
|
Ik;1 |
0 |
|
! = |
Ik;1 |
0 |
||
|
Uk |
= |
0 |
U (xk) |
|
0 U(xk) ! = Uk |
||||
|
|
|
|
I2 |
|
0 |
|
|
Ik;1 |
0 |
|
|
|
k;1 |
|
|
|
0 In;k+1 ! = In = I |
|||
UkUk |
= UkUk = |
0 |
U2(xk) ! = |
|||||||
ЮФП Й ПЪОБЮБЕФ U = U;1 , Ф.Е. ХОЙФБТОПУФШ НБФТЙГЩ Uk . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хНОПЦЙН УЙУФЕНХ (1) ОБ Uk |
УМЕЧБ, РПМХЮЙН |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(k)x = b(k) |
|
|
|
|
|
|
||
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A(k) = UkA(k;1) = |
Y |
Ui A b(k) = Ukb(k;1) |
= |
Y |
Ui |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=k |
|
|
|
|
|
i=k |
|
|
0 k |
a1 |
k |
|
c12 |
|
c13 |
|
: : : |
c1 ;1 |
c1k |
|
c1 +1 |
|
|||
|
ka1(1)k |
|
c23 |
|
: : : |
c2 |
;1 |
c2k |
|
c2 |
|
+1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
a1(2) |
|
: : : |
c3 |
;1 |
c3k |
|
c3 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
k ... |
|
. |
. |
|
|
. |
|
|
|
A(k) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
ka1(k;2)k |
ck;1 |
ck;1 +1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka1(k;1)k |
|
ckk +1 |
|
||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak(k+1) |
+1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an(k) |
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
: : : |
c1n |
: : : |
c2n |
: : : |
c3n |
... |
. |
: : : ck;1
: : : ckn
:: : a(kk+1)
... .
:: : a(nnk)
(8)
(9)
(10)
1
:
C
A
(11)
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ХНОПЦЕОЙЙ НБФТЙГЩ Uk ЧЙДБ (5) ОБ НБФТЙГХ A(k;1) |
×ÉÄÁ (3) |
||||||
ПОБ ХНОПЦБЕФУС ФПМШЛП ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i =k::: НБФТЙГЩ A(k;1) |
ТБЪНЕТБ |
||||||
n ; k + 1 (ПУФБМШОБС ЮБУФШ A(k;1) |
Ч РТЕПВТБЪПЧБОЙЙ (10) ОЕ ХЮБУФЧХЕФ). |
|
|||||
чЩЮЙУМЕОЙС РП ЖПТНХМБН (5) ПУХЭЕУФЧМСАФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН: ЧОБЮБМЕ |
|||||||
ЧЩЮЙУМСАФУС ЮЙУМБ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
jajk(k;1)j2 |
|
||||
sk = |
j=k+1 |
(12) |
|||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
ka1(k;1)k = q |
|
|
: |
|
|||
jakk(k;1)j2 + sk |
(13) |
||||||
ЪБФЕН { ЧЕЛФПТ |
|
|
|
|
|
|
|
x(k) = (akk(k;1) ; ka1(k;1)k ak(k+1;1) : : : ank(k;1))t 2 Cn;k+1 |
(14) |
||||||
Й ЕЗП ОПТНБ |
|
|
|
|
|
|
|
kx(k)k = q |
|
: |
|
||||
jx1(k)j2 + sk |
(15) |
||||||
фЕРЕТШ НПЦОП ЧЩЮЙУМЙФШ ЙУЛПНЩК ЧЕЛФПТ x(k) : |
|
||||||
x(k) := x(k)=kx(k)k Ô.Å. |
xj(k) := xj(k)=kx(k)k j = 1 : : : n ; k + 1: |
(16) |
|||||
рПУМЕ n ЫБЗПЧ ЬФПЗП РТПГЕУУБ (Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГ Й РТБЧЩИ ЮБ-
УФЕК (2), (3) Л (10), (11)) УЙУФЕНБ РТЙНЕФ ЧЙД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R x = y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|
ÇÄÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = A(n) = |
Y |
Ui A |
y = b(n) = |
Y |
Ui b |
|
|
|
(18) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=n |
|
|
|
i=n |
|
|
|
|
|
|
|||
0 k |
a1 |
k |
c12 |
|
c13 |
|
: : : |
c1 ;2 |
c1 ;1 |
|
|
c1n |
|
1 |
|||||
|
ka1(1)k |
|
c23 |
|
: : : |
c2 |
;2 |
c2 |
|
;1 |
|
|
c2n |
|
|||||
|
|
|
|
|
a(2) |
|
: : : |
c |
;2 |
c |
3 |
|
;1 |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
k ... |
3 |
|
|
|
|
3n |
|
|
||||
R = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
(19) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ka1(n;3)k cn;2 ;1 |
|
cn;2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(n;2) |
|
|
c |
|
|
|||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
n;1 |
k |
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
a1(n;1) |
|
C |
(ОБРПНОЙН, ПРТЕДЕМЕОЙС ЧЕЛФПТПЧ a1(k;1) |
k = 1 : : : n |
|
ДБАФУС Ч (4), ЗДЕ УЮЙФБЕН, |
||||||||||||||||
ÞÔÏ a1(0) = a1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уЙУФЕНБ (17) У ЧЕТИОЕК ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЕК R ТЕЫБЕФУС ПВТБФОЩН ИПДПН НЕФПДБ зБХУУБ.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
58 |
|
x 13.3. пГЕОЛБ ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Ч НЕФПДЕ ПФТБЦЕОЙК
пГЕОЙН ФТХДПЕНЛПУФШ k-ЗП ЫБЗБ БМЗПТЙФНБ, Б ЪБФЕН РТПУХННЙТХЕН РПМХЮЕООЩЕ ПГЕОЛЙ РП ЧУЕН k = 1 : : : n.
1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ НБФТЙГЩ U(xk) РП ЖПТНХМБН (5) ФТЕВХЕФУС
Á) n ; k ХНОПЦЕОЙК Й n ; k ; 1 УМПЦЕОЙК ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС sk × (12)R
В) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС
ЧЩЮЙУМЕОЙС ka(1k;1)k × (13)R
Ч) ПДОП ЧЩЮЙФБОЙЕ ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ x(k) × (14)R
З) ПДОП ХНОПЦЕОЙЕ, ПДОП УМПЦЕОЙЕ Й ПДОБ ПРЕТБГЙС ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС kx(k)k × (15)R
Ä) n ; k + 1 ДЕМЕОЙК ДМС РПУФТПЕОЙС ЧЕЛФПТБ x(k) × (16).
чУЕЗП ДМС РПУФТПЕОЙС НБФТЙГЩ U(xk) ФТЕВХЕФУС (n ;k) + 1 + 1 + (n ;k + 1) = 2(n ; k) + 3 НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ, (n ; k ; 1) + 1 + 1 + 1 = n ; k + 2 БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 1 + 1 = 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС.
2.лПНРПОЕОФЩ k : : : n k-ЗП УФПМВГБ НБФТЙГЩ A(k) , ТБЧОЩЕ ЛПНРПОЕОФБН ЧЕЛФПТБ ka(1k;1)k e(1n;k+1) , ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕОЩ Ч (13). уФПМВЕГ k ЧЩЮЙУМСЕФУС ОЕ РП ПВЭЙН ЖПТНХМБН (10) ДМС УПЛТБЭЕОЙС ЛПМЙЮЕУФЧБ БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК Й ХНЕОШЫЕОЙС ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФЙ.
3.рПУЛПМШЛХ Ч ЖПТНХМЕ (10) НБФТЙГБ Uk ЧЙДБ (5) ХНОПЦБЕФУС ОБ НБФТЙГХ A(k;1) ЧЙДБ (3), ФП РТЙ ЧЩЮЙУМЕОЙСИ РП (10) ОБДП ХНОПЦЙФШ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС
U(x(k)) |
2 |
Mn;k+1 |
ОБ РПДНБФТЙГХ (aij(k;1))i=k::: j |
=k+1 |
НБФТЙГЩ A(k;1) |
ТБЪНЕТБ |
|||||||||||||||||||||||||||
(n |
|
|
|
|
|
(n |
|
|
k) (k-К УФПМВЕГ НБФТЙГЩ A(k) ХЦЕ ЧЩЮЙУМЕО Ч РХОЛФЕ 2). уПЗМБУОП |
||||||||||||||||||||||||
; |
k+1) |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;k+1)+O(n;k) = 2(n |
;k) |
2 |
+O(n;k) (n ! |
||||||||||||||||||
МЕННЕ 11 ОБ ЬФП ФТЕВХЕФУС 2(n;k)(n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1) ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ ОПЧПК РТБЧПК ЮБУФЙ РП ЖПТНХМЕ (10) УПЗМБУОП МЕННЕ 10 |
|||||||||||||||||||||||||||||
ФТЕВХЕФУС 2(n ; k + 1) + O(1) (n ! 1) ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК. |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
éÔÁË, ÎÁ k-ПН ЫБЗЕ БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ 2(n |
; |
k) + 3 + 2(n |
; |
k) |
|
+ |
|||||||||||||||||||||||
O(n |
|
k)+2(n |
|
|
k +1)+O(1) = 2(n |
|
k) |
2 |
+ O(n |
|
k) (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
; |
; |
; |
|
; |
! 1 |
) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+O(n;k) (n ! |
||||||||||||
ПРЕТБГЙК, n;k+2+2(n;k) |
+O(n;k)+2(n;k+1)+O(1) = 2(n;k) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК Й 2 ПРЕТБГЙЙ ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧУЕЗП ДМС РТПЧЕДЕОЙС БМЗПТЙФНБ ФТЕВХЕФУС ЧЩРПМОЙФШ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(2(n ; k)2 + O(n ; k)) = 2n(n ; 1)(2n ; 1)=6 + O(n2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
k=1 |
3n3 + O(n2) (n ! 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК, Й |
|
kn=1(2) = 2n ПРЕТБ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ГЙК ЙЪЧМЕЮЕОЙС ЛПТОС (ЛПФПТЩЕ РП ФТХДПЕНЛПУФЙ РП РПТСДЛХ НПЦОП УТБЧОЙФШ У |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРЕТБГЙСНЙ ДЕМЕОЙС). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
оБ ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ (17) У ЧЕТИОЕК ФТЕХЗПМШОПК НБФТЙГЕК R ПВТБФОЩН ИПДПН |
|||||||||||||||||||||||||||||
НЕФПДБ зБХУУБ ФТЕВХЕФУС O(n2) (n |
! 1) БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБ ТЕЫЕОЙЕ МЙОЕКОПК УЙУФЕНЩ НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК ФТЕВХЕФУС |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n3 + O(n2) (n |
! 1) НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОЩИ Й УФПМШЛП ЦЕ БДДЙФЙЧОЩИ ПРЕТБГЙК |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(ЮФП Ч 2 ТБЪБ ВПМШЫЕ, ЮЕН Ч НЕФПДЕ зБХУУБ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
59 |
|
фЕПТЕНБ 1 (п QR-ТБЪМПЦЕОЙЙ). чУСЛБС ОЕЧЩТПЦДЕООБС НБФТЙГБ A 2 Mn НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕОБ Ч ЧЙДЕ A = Q R , ЗДЕ НБФТЙГБ Q { ХОЙФБТОБС, Б НБФТЙГБ R { ЧЕТИОСС ФТЕХЗПМШОБС У ЧЕЭЕУФЧЕООЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ ОБ ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ. ьФП ТБЪМПЦЕОЙЕ ЕДЙОУФЧЕООП.
дПЛБЪБФЕМШУФЧП РТПИПДЙФ БОБМПЗЙЮОП ДПЛБЪБФЕМШУФЧХ ФЕПТЕНЩ 12.1. рТП- ЧЕДЕН ДМС НБФТЙГЩ A БМЗПТЙФН НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК, ПУХЭЕУФЧЙНЩК ДМС ЧУСЛПК
|
|
^ |
|
|
|
|
|
1 |
^ |
|
|
|
|
|
|
^ |
Q |
||
ОЕЧЩТПЦДЕООПК НБФТЙГЩ. пВПЪОБЮЙН Ч (18) |
Q = i=n |
Ui . лБЛ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ХОЙ- |
|||||||
ФБТОЩИ НБФТЙГ, НБФТЙГБ Q ХОЙФБТОБ. фПЗДБ (5) ЙНЕЕФ ЧЙД R = QA, ПФЛХДБ |
|||||||||
^ |
;1 |
^ |
t |
^ |
;1 |
. ъДЕУШ НБФТЙГБ Q ХОЙФБТОБ, Б НБФТЙГБ |
|||
A = (Q) |
|
R = QR, ÇÄÅ Q = (Q) |
|
= (Q) |
|
||||
R ЙНЕЕФ ЧЙД (19) Й РПФПНХ ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХУМПЧЙСН ФЕПТЕНЩ.
рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЧПЪНПЦОП ДЧБ ТБЪМЙЮОЩИ ТБЪМПЦЕОЙС A = QR É A = Q0R0 , ХДПЧМЕФЧПТСАЭЙИ ХУМПЧЙСН ФЕПТЕНЩ. фПЗДБ QR = Q0R0 É (Q0);1Q = R;1R0 . ч МЕЧПК ЮБУФЙ РПУМЕДОЕЗП ТБЧЕОУФЧБ УФПЙФ ХОЙФБТОБС НБФТЙГБ, Б Ч РТБ- ЧПК { ЧЕТИОСС ФТЕХЗПМШОБС. рЕТЕУЕЮЕОЙЕ ЗТХРРЩ ХОЙФБТОЩИ НБФТЙГ Й ЗТХРРЩ ЧЕТИОЙИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ УПУФПЙФ ЙЪ НБФТЙГ ЧЙДБ D = diag(d1 : : : dn), ÇÄÅ dj = ei'j j = 1 : : : n (РТПЧЕТЙФШ УБНПУФПСФЕМШОП). рПУЛПМШЛХ ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НБФТЙГЩ R;1R0 ТБЧОЩ РТПЙЪЧЕДЕОЙСН ДЙБЗПОБМШОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ НБФТЙГ R;1 É R0 , ФП ПОЙ ЧЕЭЕУФЧЕООЩ Й РПМПЦЙФЕМШОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП R;1R0 = I , Ô.Å. R = R0 . рПМХЮЕООПЕ РТПФЙЧПТЕЮЙЕ ДПЛБЪЩЧБЕФ ФЕПТЕНХ.
ъБНЕЮБОЙЕ 1. уРТБЧЕДМЙЧЩ ЪБНЕЮБОЙС 12.3 Й 12.4 П РТЙНЕОЕОЙЙ QR- ТБЪМПЦЕОЙС.
x 13.4. рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС НЕФПДПН ПФТБЦЕОЙК
рПУФТПЕОЙЕ QR-ТБЪМПЦЕОЙС. иТБОЕОЙЕ НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ.
рХУФШ УФПЙФ ЪБДБЮБ РПУФТПЙФШ QR-ТБЪМПЦЕОЙЕ ДМС НБФТЙГЩ A. вХДЕН ДЕКУФЧП- ЧБФШ ЛБЛ Ч ФЕПТЕНЕ 1. рТПЧЕДЕН ДМС НБФТЙГЩ A НЕФПД ПФТБЦЕОЙК Й РПМХЮЙН Ч ТЕЪХМШФБФЕ НБФТЙГХ R ЙЪ (19). рТЙ ЬФПН НБФТЙГБ Q ТБЧОБ (УН. ДПЛБЪБФЕМШУФЧП ФЕПТЕНЩ 1)
|
1 |
t |
n |
t |
n |
|
|
Q = ( |
Y |
Ui) = |
Y |
Ui = |
Y |
Ui: |
(20) |
|
i=n |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
чПЪНПЦОЩ ДЧБ УРПУПВБ ИТБОЕОЙС НБФТЙГ Q É R Ч РБНСФЙ.
1. нБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A Й РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОЩН РТЙНЕОЕОЙЕН НБФТЙГ ПФТБЦЕОЙС (УН. ЧЩЫЕ БМЗПТЙФН НЕФПДБ ПФТБЦЕОЙК). дМС ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ЧЩДЕМСЕФУС ПФДЕМШОБС НБФТЙГБ Q, ЛПФПТБС ТБЧОБ ЕДЙОЙЮОПК РЕТЕД РЕТЧЩН ЫБЗПН БМЗПТЙФНБ. оБ ЫБЗЕ k k = 1 : : : n ЬФБ НБФТЙГБ ХНОПЦБЕФУС УРТБЧБ ОБ НБФТЙГХ Uk :
Q := Q Uk
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |
x13. нефпд пфтбцеойк |
60 |
|
|
(УН. (10), (20)). нБФТЙГБ Uk |
ЧЙДБ (5) ХНОПЦБЕФУС РП БМЗПТЙФНХ ЙЪ МЕННЩ 11 ОБ |
НБФТЙГХ Q РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ ЪБ 2n(n;k+1)+O(n) = 2n(n;k)+O(n) (n ! 1) ХНОПЦЕОЙК Й ФБЛПЗП ЦЕ ЛПМЙЮЕУФЧБ УМПЦЕОЙК (РПУЛПМШЛХ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪ- ЧЕДЕОЙС QUk НБФТЙГЩ Q ОБ НБФТЙГХ Uk ЧЙДБ (5) ОБДП ЧЩЮЙУМЙФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ
РПДНБФТЙГЩ (qij)i=1 |
j =k::: ТБЪНЕТБ n |
|
(n |
; |
k + 1) ОБ НБФТЙГХ ПФТБЦЕОЙС |
|||
|
(k) |
|
|
|
|
|
||
U(x |
|
) 2 Mn;k+1 ТБЪНЕТБ (n ; k + 1) (n ; k |
+ 1)). |
|||||
уМЕДПЧБФЕМШОП, РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ n НБФТЙГ ПФТБЦЕОЙС Ч (20) НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩЮЙ- |
||||||||
УМЕОП ЪБ |
kn=1(2n(n |
; k) + O(n)) = 2nn(n ; 1)=2 + O(n2) = n3 + O(n2) (n ! 1) |
||||||
ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
2. лБЛ Й Ч РЕТЧПН УРПУПВЕ, НБФТЙГБ R ИТБОЙФУС ОБ НЕУФЕ ЧЕТИОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙГЩ A. дМС ИТБОЕОЙС ЦЕ НБФТЙГЩ Q ПФДЕМШОБС РБНСФШ ОЕ ЧЩДЕМСЕФУС. ъБНЕФЙН, ЮФП ОБ ЫБЗЕ k k = 1 : : : n НЩ ЙУРПМШЪПЧБМЙ НБФТЙГХ Uk , РПМХЮБАЭХАУС Ч (7) ЙЪ НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x(k)), ЛПФПТБС Ч УЧПА ПЮЕТЕДШ ГЕМЙЛПН ПРТЕДЕМСЕФУС ЧЕЛФПТПН x(k) 2 Cn;k+1 ЙЪ (5). рТЙ ЬФПН РПУМЕ РТЕПВТБЪПЧБОЙС (10), Ф.Е. РЕТЕИПДБ ПФ НБФТЙГЩ (3) Л НБФТЙГЕ (11), Ч k -ПН УФПМВГЕ НБФТЙГЩ A(k) ÏÂÒÁ-
ЪПЧБМЙУШ n ; k ОХМЕЧЩИ ЬМЕНЕОФПЧ a(jkk) = 0 j = k + 1 : : : n. рПЬФПНХ ЧПЪНПЦОП ЧНЕУФП НБФТЙГЩ Q ЧЙДБ (20) ИТБОЙФШ ОБ НЕУФЕ ОЙЦОЕЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ НБФТЙ-
ÃÙ A ОБВПТ ЧЕЛФПТПЧ x(k) k = 1 : : : n, ЪБДБАЭЙК НБФТЙГЩ ПФТБЦЕОЙС U(x(k)). жПТНХМБ (14) РПДУЛБЪЩЧБЕФ ХДПВОЩК УРПУПВ ПТЗБОЙЪБГЙЙ ФБЛПЗП ИТБОЕОЙС: ОБ
ÛÁÇÅ k x(1k) a(kkk;1) : : : x(nk;)k+1 a(nkk;1) , Б ЬМЕНЕОФ a(kkk) = ka(1k;1)k ИТБОЙФУС Ч ЧЙДЕ (k ;1)-ПК ЛПНРПОЕОФЩ ДПРПМОЙФЕМШОПЗП ЧЕЛФПТБ D. ч ЙФПЗЕ РПУМЕ n ЫБЗПЧ
РТПГЕУУБ ОБ НЕУФЕ ЙУИПДОПК n n НБФТЙГЩ A Й ДПРПМОЙФЕМШОПЗП ЧЕЛФПТБ D ДМЙОЩ n ВХДЕФ ОБИПДЙФШУС УМЕДХАЭБС ЙОЖПТНБГЙС: ЧЕТИОЙК ФТЕХЗПМШОЙЛ НБФТЙГЩ
R : |
rij = aij i < j i = 1 : : : n j |
= 2 : : : n, ДЙБЗПОБМШ НБФТЙГЩ R : |
rii = |
|
di |
i = 1 : : : n, ОБВПТ ЧЕЛФПТПЧ x(k) |
k = 1 : : : n x1(k) akk : : : xn(k;)k+1 |
ank . |
|
|
рТЙ ЧФПТПН УРПУПВЕ ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q ОЕ ФПМШЛП ЬЛПОПНЙФУС |
n3 |
СЮЕЕЛ |
|
РБНСФЙ, ОП Й ЬЛПОПНЙФУС n3 +O(n2) (n ! 1) ХНОПЦЕОЙК Й ФБЛПЕ ЦЕ ЛПМЙЮЕУФЧП УМПЦЕОЙК ОБ РПУФТПЕОЙЕ НБФТЙГЩ Q. чФПТПНХ УРПУПВХ ИТБОЕОЙС ВМБЗПРТЙСФУФЧХЕФ ФБЛЦЕ ФП ПВУФПСФЕМШУФЧП, ЮФП ТЕДЛП ФТЕВХЕФУС ЪОБФШ НБФТЙГХ Q "УБНХ РП УЕВЕ". пВЩЮОП ФТЕВХЕФУС ХНЕФШ ЧЩЮЙУМСФШ ЕЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС ОБ ЧЕЛФПТ Й НБФТЙГХ.
дМС ФПЗП, ЮФПВЩ ЧЩЮЙУМЙФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ Q ЧЙДБ (20) ОБ ОЕЛПФПТХА НБ-
n
ФТЙГХ B ФТЕВХЕФУС ЧЩЮЙУМЙФШ QB = Q (UiB). оБ ЬФП ОХЦОП n3 +O(n2) (n ! 1)
i=1
ХНОПЦЕОЙК Й УФПМШЛП ЦЕ УМПЦЕОЙК (УН. РПДУЮЕФ ЛПМЙЮЕУФЧБ ПРЕТБГЙК РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РЕТЧПЗП УРПУПВБ ИТБОЕОЙС, Ч ЛПФПТПН ЖБЛФЙЮЕУЛЙ ЧЩЮЙУМСМПУШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ НБФТЙГЩ ЧЙДБ (20) Й ЕДЙОЙЮОПК НБФТЙГЩ). ьФП ЛПМЙЮЕУФЧП УПЧРБДБЕФ У ЛПМЙЮЕУФЧПН БТЙЖНЕФЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК, ОЕПВИПДЙНЩИ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЙЪ- ЧЕДЕОЙС ДЧХИ НБФТЙГ Q É B РТПЙЪЧПМШОПЗП ЧЙДБ. ч УЙМХ ЬФПЗП РПЮФЙ ЧУЕЗДБ ЙУРПМШЪХЕФУС ЧФПТПК УРПУПВ ИТБОЕОЙС НБФТЙГЩ Q.
л.а.вПЗБЮЕЧ |
фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН |