Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]

x8. нефпд цптдбоб (збхууб-цптдбоб)

31

x1 + a12(1)x2

+ : : :

+ a1(1)n xn

=

b1(1)

a22(1)x2

+ : : :

+ a2(1)n xn

=

b2(1)

(1)

. . ... . . . .

a(1)x2

+ : : : + a(1)xn

=

b(1)

n2

nn

n

рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП a(k;1) = 0. рПДЕМЙЧ k -Е ХТБЧОЕОЙЕ УЙУФЕНЩ (2) ОБ a(k;1) ,

kk

6

kk

РЕТЕРЙЫЕН ЕЗП Ч ЧЙДЕ

xk + akk(k)

+1xk+1 + : : : + akn(k)xn = bk(k)

(3)

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

a(k) = a(k;1)

a(k;1)a(k)

i = 1 : : : n i = k j = k + 1 : : : n:

ij

ij

;

ik

kj

6

(6)

(k)

= b

(k;1)

a

(k;1)

b

(k)

b

;

i = 1 : : : n i = k:

i

i

ik

k

6

рПУЛПМШЛХ

ОБ ЛБЦДПН ЫБЗЕ НЕФПДБ цПТДБОБ РПДНБФТЙГБ

A(k;1) =

(aij(k;1))i =k

{ ФБ ЦЕ, ЮФП ОБ УППФЧЕФУФЧХАЭЕН ЫБЗЕ НЕФПДБ зБХУУБ, ФП НЕФПД

1. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ akj(k)

ÐÒÉ j = k + 1 : : : n k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (4)

ФТЕВХЕФУС Pkn=1(n ; k) = n(n ; 1)=2 = O(n2) (n ! 1) ПРЕТБГЙК ДЕМЕОЙС.

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x9. рпмпцйфемшоп пртедемеооще нбфтйгщ

33

2. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ a(k) ÐÒÉ i = 1 : : : n i = k j = k + 1 : : : n

k = 1 : : : n ÐÏ

ij

P

ЖПТНХМБН (6) ФТЕВХЕФУС

kn=1(n;k)(n;1) =6(n;1)2n=2 = n3=2+O(n2) (n ! 1)

ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й УФПМШЛП ЦЕ ПРЕТБГЙК ЧЩЮЙФБОЙС.

3. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ b(k) ÐÒÉ k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (4) ФТЕВХЕФУС n ПРЕТБГЙК

ДЕМЕОЙС.

k

4. оБ ЧЩЮЙУМЕОЙЕ b(k) ÐÒÉ i = 1 : : : n i = k k = 1 : : : n РП ЖПТНХМБН (6)

ФТЕВХЕФУС

P

kn=1(n ; 1)i = n(n ; 1) = O(n2)6(n ! 1) ПРЕТБГЙК ХНОПЦЕОЙС Й

УФПМШЛП ЦЕ ПРЕТБГЙК ЧЩЮЙФБОЙС.

пРТЕДЕМЕОЙЕ. нБФТЙГБ A

2

Mn ОБЪЩЧБЕФУС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООПК

(ПВПЪОБЮБЕФУС

C

n

ЧЩТБЦЕОЙЕ (Ax x) ЧЕЭЕУФЧЕООП

A > 0), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x

2

É (Ax x) > 0

ÄÌÑ ×ÓÅÈ x

C

n

) ÏÚÎБЮБЕФ ПВЩЮОПЕ УЛБМСТ-

x = 0 (ЪДЕУШ (

ОПЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ Ч C

n

2

6

y

, (x y) = y

x, ÇÄÅ

= (y1 : : : yn) , ЮЕТФБ ОБД УЙНЧПМПН

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x9. рпмпцйфемшоп пртедемеооще нбфтйгщ

34

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ФЕПТЕНПК 4.1 ОБН ОБДП РТПЧЕТЙФШ, ЮФП

ЗМБЧОЩЕ ХЗМПЧЩЕ НЙОПТЩ РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕООПК НБФТЙГЩ A ПФМЙЮОЩ ПФ

ÎÕÌÑ.

пРТЕДЕМЙН ПФПВТБЦЕОЙЕ x(k) РТПУФТБОУФЧБ Cn

!

Ck , k

n ДЕКУФЧХАЭЕЕ РП

РТБЧЙМХ: ДМС ЧУСЛПЗП x = (x1 : : : xn)

t

C

n

x(k)

t

C

k

. üÔÏ ÏÔÏ-

2

= (x1 : : : xk)

2

t

ВТБЦЕОЙЕ ЕУФШ ПФПВТБЦЕОЙЕ "ОБ", Ф.Е. ДМС ЛБЦДПЗП ЬМЕНЕОФБ x

= (x1 : : : xk)

2

C

k

ОБКДЕФУС ЬМЕНЕОФ x^

C

n

2

, СЧМСАЭЙКУС РТППВТБЪПН x РТЙ ЬФПН ПФПВТБЦЕОЙЙ

t

2 C

n

).

(ОБРТЙНЕТ, x^ = (x1 : : : xk 0 : : : 0)

рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ A РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕОБ, ФП ДМС ЧУСЛПЗП k = 1 : : : n

Й ЧУСЛПЗП x

2

Cn , ФБЛПЗП, ЮФП x(k)

= 0 ЧЩТБЦЕОЙЕ (Ax(k) x(k)) ЧЕЭЕУФЧЕООП Й

6

РПМПЦЙФЕМШОП. рП РТБЧЙМХ РЕТЕНОПЦЕОЙС НБФТЙГ (Ax(k) x(k)) = (Akx(k) x(k))k ,

ÇÄÅ

1

a11

a12 : : : a1k

Ak =

0 a21 a22 : : : a2k

.

. ... .

C

B ak1

ak2 : : : akk

-ЗМБЧОЩК ХЗМПЧБС РПДНБФТЙГБ

@

, (

A

A

)k { ПВЩЮОПЕ cЛБМСТОПЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ Ч

РТПУФТБОУФЧЕ Ck , (x y)k

= y x x y

Ck . уМЕДПЧБФЕМШОП, ЧЩТБЦЕОЙЕ (Akx x)k

2

2

C

k

, Ф.Е. НБФТЙГЩ

Ak

2

Mk k =

ЧЕЭЕУФЧЕООП Й РПМПЦЙФЕМШОП ДМС ЧУЕИ x

1 : : : n

РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕОЩ. рПМШЪХСУШ МЕННПК 1, РПМХЮБЕН, ЮФП НБФТЙ-

ÃÙ Ak

k = 1 : : : n

ОЕЧЩТПЦДЕОЩ. йЪ ФЕПТЕНЩ 4.1 ФЕРЕТШ ЧЩФЕЛБЕФ ФТЕВХЕНЩК

ТЕЪХМШФБФ.

мЕННБ 3. уБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ A 2

Mn

РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕ-

ОБ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЧУЕ ЕЕ УПВУФЧЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ЧЕЭЕУФЧЕООЩ Й

РПМПЦЙФЕМШОЩ.

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рХУФШ A

2

Mn УБНПУПРТСЦЕООБС РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕ-

МЕОБС НБФТЙГБ, { ЕЕ УПВУФЧЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ,

x = 0

{ УППФЧЕФУФЧХАЭЙК УПВ-

6

УФЧЕООЩК ЧЕЛФПТ: Ax = x. хНОПЦЙН ЬФП ТБЧЕОУФЧП УЛБМСТОП ОБ x, РПМХЮЙН

(Ax x) = (x x) É =

(Ax x) . рПУЛПМШЛХ (Ax x) ЧЕЭЕУФЧЕООП Й РПМПЦЙФЕМШ-

ÎÏ, ÔÏ > 0.

kxk2

2 Mn

рХУФШ A

УБНПУПРТСЦЕООБС НБФТЙГБ Й

i

> 0,

i

=

1 2 : : : n {

x1 x2 : : : xn ,

(xi xj) =

ij , УПУФПСЭЙК ЙЪ УПВУФЧЕООЩИ ЧЕЛФПТПЧ НБФТЙГЩ A:

Axi = ixi . рХУФШ x = 0 { РТПЙЪЧПМШОЩК ЧЕЛФПТ, x =

n

cixi

{ ЕЗП ТБЪМП-

ЦЕОЙЕ РП ВБЪЙУХ

xi

6

x

2

=

n

ci

2

i=1

f

g

, РТЙЮЕН

k

k

i=1 j

= 0. тБУУНПФТЙН ЧЩТБЦЕОЙЕ

P

n

n

n

jn 6

P n

2

(Ax x) = (A

i=1 cixi

P

P

i=1 cPi ixi

P

P

i=1 ijcij

. уМЕДПЧБ-

i=1 cixi) = (

i=1 cixi) =

ФЕМШОП, (Ax x) ЧЕЭЕУФЧЕООП. рПУЛПМШЛХ i > 0 É ÎÅ ×ÓÅ ci

ТБЧОЩ 0, ФП (Ax x)

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x10. нефпд ипмеглпзп (лчбдтбфопзп лптос)

35

(rii > 0 ÄÌÑ ×ÓÅÈ i

= 1 : : : n) Й ДЙБЗПОБМШОБС НБФТЙГБ

D У ЧЕЭЕУФЧЕООЩ-

НЙ ТБЧОЩНЙ РП НПДХМА ЕДЙОЙГЕ ДЙБЗПОБМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ (dii

2 f;

1 1

g

ÄÌÑ

×ÓÅÈ i = 1 : : : n) ФБЛЙЕ, ЮФП A = R DR .

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. рП ФЕПТЕНЕ 4.1 ДМС НБФТЙГЩ A ПУХЭЕУФЧЙНП LU -

ТБЪМПЦЕОЙЕ, Ф.Е. УХЭЕУФЧХАФ L

2

LT(n) É U

2

UT(n) ФБЛЙЕ, ЮФП A = LU .

рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ L = (lij) ОЕЧЩТПЦДЕОБ, ФП lii

6= 0 i = 1 : : : n

Й НБФТЙГБ

^

= diag (l11 : : : lnn)

(1)

D

^;1

;1

;1

^

=

^;1

LT(n). фПЗДБ РП

ПВТБФЙНБ, D

= diag (l11

: : : lnn ). рПМПЦЙН

L

LD

2

РТБЧЙМБН РЕТЕНОПЦЕОЙС НБФТЙГ

^

= 1 i = 1 : : : n.

lii

рПДУФБЧЙН ЬФП РТЕДУФБЧМЕОЙЕ НБФТЙГЩ L =

^ ^

× LU -ТБЪМПЦЕОЙЕ НБФТЙГЩ

LD

A:

^ ^

, ÔÏ A =

^ ^

= A

= U

^

^

A = LDU . ôÁË ËÁË A = A

LDU

D L . рПЬФПНХ U =

^;1 ^

;1

U

^ ^

,

D

L

D L

^

;1

^;1 ^

^

;1

U

:

(2)

U(L )

= D

L

D

ъБНЕФЙН, ЮФП

^

RT(n), РТЙЮЕН ЗМБЧОБС ДЙБЗПОБМШ ЬФПК НБФТЙГЩ УПУФПЙФ ЙЪ

L

2

^

UT(n). рПЬФПНХ Ч МЕЧПК ЮБУФЙ ТБЧЕОУФЧБ (2) УФПЙФ

ЕДЙОЙГ. уМЕДПЧБФЕМШОП L

2

НБФТЙГБ

^

)

;1

2

U(L

UT(n). ч РТБЧП ЦЕ ЮБУФЙ ТБЧЕОУФЧБ (2) УФПЙФ РТПЙЪЧЕДЕ-

ОЙЕ ОЙЦОЙИ ФТЕХЗПМШОЩИ НБФТЙГ, ЛПФПТПЕ СЧМСЕФУС ПРСФШ ОЙЦОЕК ФТЕХЗПМШОПК

НБФТЙГЕК, Ф.Е. РТЙОБДМЕЦЙФ LT(n). рПЬФПНХ ЙЪ (2) ЧЩФЕЛБЕФ

^

;1

2 UT(n) \ LT(n):

U(L )

^

;1

^

;1 ^

;1

^

= I:

(3)

U(L )

= D

L

U D

фБЛЙН ПВТБЪПН,

^

É

^

. дБМЕЕ, ЙЪ (3)

U = L

A = U DU

^

;1 ^;1

U

^

^;1

^;1

^ ^

^;1 ^;1

^ ^

^;1

^

I = D L

D

= D L

(L )

D

= D L LD

= D D

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x10. нефпд ипмеглпзп (лчбдтбфопзп лптос)

36

^

^

. ч УЙМХ (1) РПМХЮБЕН lkk = lkk , Ô.Å. lkk { ЧЕЭЕУФЧЕООЩЕ ДМС ЧУЕИ

Ô.Å. D =

D

^

^

^

1=2

^

1=2

k = 1 : : : n. рТЕДУФБЧЙЧ НБФТЙГХ D × ×ÉÄÅ

D = jDj

D jDj

, ÇÄÅ

^

1=2

= diag (qjl11j : : : qjlnnj)

D = diag (sign l11 : : : sign lnn) jDj

РПМХЮБЕН

^

1=2

^

1=2

U . пВПЪОБЮЙН

R =

^

1=2

U

).

A = U

jDj

D jDj

jDj

2 RT (n

фПЗДБ

A = R DR, РТЙЮЕН ДЙБЗПОБМШОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ rii НБФТЙГЩ R ТБЧОЩ

qj

lii

j

> 0.

уМЕДПЧБФЕМШОП, РПМХЮЕООПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ СЧМСЕФУС ФТЕВХЕНЩН.

дЕКУФЧЙФЕМШОП, ЕУМЙ НБФТЙГБ A РПМПЦЙФЕМШОП ПРТЕДЕМЕОБ Й ДМС ОЕЕ УРТБ-

ЧЕДМЙЧП ТБЪМПЦЕОЙЕ A = R D R, ФП ДМС ЧУСЛПЗП x

2

Cn x = 0 ЧЩТБЦЕОЙЕ

(Ax x)

6

= (R

D Rx x) = (D Rx Rx) ЧЕЭЕУФЧЕООП Й РПМПЦЙФЕМШОП. дМС ЧУСЛПЗП

y

2

Cn

РПМПЦЙН x = R;1y. фПЗДБ ЧЩТБЦЕОЙЕ (Dy y) = (Ax x) ЧЕЭЕУФЧЕООП Й

C

n

y

= 0, Ф.Е. НБФТЙГБ D

РПМПЦЙФÅÌШОП ПРТЕДЕМЕОБ.

РПМПЦЙФЕМШОП ДМС ЧУЕИ y

2

6

n

P

n

2

рПУЛПМШЛХ D = diag (d11 : : : dnn), ÔÏ (Dy y) =

P

j=1 djj

yj .

j=1 djjyjyj =

рП ДПЛБЪБООПНХ, ЬФБ УХННБ ЧЕЭЕУФЧЕООБ Й РПМПЦЙФЕМШОБ. чЩВЙТБС ЪДЕУШj y j=

ek

k = 1 : : : n, ÇÄÅ ek { ПТФЩ УФБОДБТФОПЗП ВБЪЙУБ, ОБИПДЙН, ЮФП ЧУЕ dkk

k =

D У ТБЧОЩНЙ РП НПДХМА ЕДЙОЙГЕ ДЙБЗПОБМШОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ (

dii

j

= 1 ÄÌÑ ×ÓÅÈ

i = 1 : : : n) ФБЛХА, ЮФП A = R DR .

P

j

ьМЕНЕОФ (k j) НБФТЙГЩ DR ТБЧЕО (DR)kj =

n

dkirij = dkkrkj

, ÔÁË ËÁË ÍÁ-

ФТЙГБ D { ДЙБЗПОБМШОБСR ЬМЕНЕОФ (i k) НБФТЙГЩ

i=1

ТБЧЕО (R )ik =

R ЬМЕНЕОФ

R

rki

(i j) НБФТЙГЩ R DR ТБЧЕО (R DR)ij =

n (R )ik(DR)kj =

n

dkkrkj . уМЕДП-

rki

k=1

k=1

ЧБФЕМШОП, ТБЧЕОУФЧП A = R DR ÄÁÅÔ ÎÁÍPХТБЧОЕОЙС

P

n

X

rki

dkkrkj = aij

i j = 1 : : : n:

(4)

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x10. нефпд ипмеглпзп (лчбдтбфопзп лптос)

38

i;1

2 rii = s(aii ; k=1 jrkij2)

i = 1 : : : n

6

i;1P

(9)

4

P

i < j i j = 1 : : : n:

rij = (aij ; k=1 rki rkj)=rii

2

rii =

s

(aii

i;1 rki2 )

i = 1 : : : n

; k=1

6

i;1P

4

P

i < j i j = 1 : : : n:

rij = (aij ; k=1 rkirkj)=rii

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x11. нефпд птфпзпобмйъбгйй

40

Ai = (ai1 : : : ain ;bi)t 2 Cn+1 i = 1 : : : n:

(3)

у ЙУРПМШЪПЧБОЙЕН ЬФЙИ ПВПЪОБЮЕОЙК УЙУФЕНБ (1) НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБОБ Ч ЧЙДЕ n

ХУМПЧЙК ПТФПЗПОБМШОПУФЙ

(Y Ai) = 0 i = 1 : : : n

(4)

ФЕН, ЮФП ЕЗП РПУМЕДОСС ЛППТДЙОБФБ ТБЧОБ 1).

ч ЛБЮЕУФЧЕ ВБЪЙУБ ОБЮБМШОПЗП РТПУФТБОУФЧБ E(0)

ЧПЪШНЕН УФБОДБТФОЩК ВБЪЙУ

Cn+1 : e(0) = (1 0 : : : 0) : : : e(0) = (0 : : : 0 1).

1

n+1

äÌÑ ×ÓÅÈ k = 1 : : : n ВБЪЙУ e(k)

: : : e(k)

ЛБЦДПЗП УМЕДХАЭЕЗП РПДРТПУФТБО-

k+1

n+1

e(kk;1) : : : en(k+1;1) РПДРТПУФТБОУФЧБ

ÓÔ×Á E(k) УФТПЙФУС РП РТЕДЩДХЭЕНХ ВБЪЙУХ

E(k;1) РП ЖПТНХМБН

(k)

(k;1)

(Ak ei(k;1)) (k;1)

ei

= ei

; (Ak ek(k;1)) ek

i = k + 1 : : : n:

(5)

рТПЧЕТЙН, ЮФП

E(k)

УПУФПЙФ

ЙЪ ЧЕЛФПТПЧ,

ПТФПЗПОБМШОЩИ

ЧЕЛФПТБН

УФТБОУФЧБ E(k;1) , ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ ЛПФПТПЗП ПТФПЗПОБМШОЩ ЧЕЛФПТБН A1 : : : Ak;1 .

уМЕДПЧБФЕМШОП,

ЧЕЛФПТБ

ÉÚ E(k)

ПТФПЗПОБМШОЩ ЧЕЛФПТБН

A1 : : : Ak;1 .

В) рТПЧЕТЙН, ЮФП ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ ВБЪЙУБ РТПУФТБОУФЧБ E(k) ПТФПЗПОБМШОЩ

ЧЕЛФПТХ Ak . (Ak ei(k)) =

(Ak ei(k;1))

(Ak ei(k;1)) (Ak ek(k;1)) =

(Ak e(ik;1))

;

; (Ak e(k;1))

(Ak e(ik;1)) = 0

k

i = k + 1 : : : n:

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН