Богачев К.Ю._ Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. Практикум на ЭВМ [12]

x1. нбфтйюоще оптнщ

11

рПУЛПМШЛХ НБФТЙГБ U;1 = U СЧМСЕФУС ХОЙФБТОПК (ПТФПЗПОБМШОПК Ч ЧЕЭЕУФЧЕО-

ОПН УМХЮБЕ) Й ОЕ ЙЪНЕОСЕФ ЕЧЛМЙДПЧПК ДМЙОЩ ЧЕЛФПТПЧ :

k

U;1 x

2 =

k

x

k

2 ÄÌÑ

×ÓÅÈ x, ФП (ЪБНЕОСС Ч РПУМЕДОЕН ОЕТБЧЕОУФЧЕ

y = U x )

k

n

2)1=2:

max

A x

k

2 =

max

=1

( y y )1=2 = max ( y y )1=2 = max (

j

j

yj

j

kxk2=1 k

kU;1yk2

kyk2

=1

kyk2

=1

j=1

X

рХУФШ j0

- НБЛУЙНБМШОПЕ ЙЪ j

. фПЗДБ

n

max

A x

k

2

q

j0 max (

j

yj

j

2)1=2 =

q

j0

=

A 2:

kxk2

=1 k

kyk2=1

j=1

k k

X

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЕУМЙ ej0

ÅÓÔØ j0 -К ЛППТДЙОБФОЩК ПТФ, ФП

n

n

max

A x

k

2

= max (

j

j

yj

j

2)1=2

(

j

j

ej0j

j

2)1=2

=

q

j0

=

k

A

k

2:

kxk2=1 k

kyk2

=1

j=1

j=1

X

X

йЪ РПУМЕДОЙИ ДЧХИ УППФОПЫЕОЙК ЧЩФЕЛБЕФ ФТЕВХЕНПЕ ТБЧЕОУФЧП

max

A x

k

2

=

k

A 2:

kxk2=1 k

k

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

фЕПТЕНБ 1. рХУФШ

k k

- НБФТЙЮОБС ОПТНБ ОБ Mn . åÓÌÉ

k

A

k

< 1 , ÔÏ

1

НБФТЙГБ I

;

A ПВТБФЙНБ, РТЙЮЕН (I

;

A);1 =

P

Ak:

k=0

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. тБУУНПФТЙН

ÒÑÄ

1 Ak . рПУЛПМШЛХ

ÄÌÑ

ЧУСЛПЗП

p

>

P

m

P

k=0

P

0

m+p Ak

m+p

A k

!

0

ÐÒÉ m

, ФП РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЮБУФЙЮОЩИ

kk=m

k k=m k k

! 1

n2

P

Ak СЧМСЕФУС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФША лПЫЙ. фБЛ ЛБЛ Ч УЙМХ РПМОПФЩ

ÓÕÍÍ sm =

k=0

C

РТПУФТБОУФЧП Mn РПМОП РП ОПТНЕ k k, ФП ПРТЕДЕМЕО РТЕДЕМ B = mlim!1 sm =

1

1

1

k=0 Ak , РТЙЕН Ч УЙМХ ОЕРТЕТЩЧОПУФЙ ОПТНЩ

kBk k=0 kAkk =

. éÍÅ-

1

A

P

1

1

1

P

; k

k

ÅÍ: B(I ; A) =

P

P

P

k=0 Ak(I ; A) =

k=0 Ak

; k=1 Ak = I . бОБМПЗЙЮОП РТПЧЕТСЕН

(I ; A)B = I . уМЕДПЧБФЕМШОП, B = (I ; A)

;1

.

фЕПТЕНБ 2. рХУФШ k k - 1НБФТЙЮОБС ОПТНБ ОБ Mn , A - ПВТБФЙНБС НБФТЙ-

ÃÁ. åÓÌÉ B 2 Mn k1Bk <

, ФП НБФТЙГБ C = A + B ПВТБФЙНБ, РТЙЮЕН

kA;1k

C;1 = (A + B);1

=

P

(

;

1)k(A;1B)kA;1:

k=0

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. тБУУНПФТЙН НБФТЙГХ D = A;1C = A;1(A+B) = I+A;1B .

ôÁË

ËÁË ÐÏ

ХУМПЧЙА

k

A;1B

k

k

A;1

k k

B

k

< 1 ,

ФП РП РТЕДЩДХЭЕК

ÔÅÏ-

1

ТЕНЕ УХЭЕУФЧХЕФ

НБФТЙГБ D;1

=

kP=0

(

;

1)k(A;1B)k ,

ПВТБФОБС

Ë

D. тБУУНП-

ФТЙН НБФТЙГХ

^

=

D

;1

A

;1

^

=

D

;1 ;1

(A +

B) =

D

;1

(I +

C

^

Й ЧЩЮЙУМЙН

C C

A

;1

B) =

D

;1

D

= (A + B)D

;1

A

;1

=

;1

(A + B)D

;1

A

;1

=

A

= I C C

A A

^

A(I + A

;1

B)D

;1 ;1

=

;1

=

I . уМЕДПЧБФЕМШОП, УХЭЕУФЧХЕФ C

;1

=

=

A

A A

C

D;1A;1 =

1

( 1)k(A;1B)kA;1 .

P

k=0 ;

x 3. пыйвлй ч теыеойси мйоекощи уйуфен

рХУФШ ТЕЫБЕФУС МЙОЕКОБС УЙУФЕНБ A x = b

A

2 Mn b 2 Cn . рХУФШ - БМ-

ЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС ЬФПК УЙУФЕНЩ ОБ ЙДЕБМШОПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК УЙУФЕНЕ, ФБЛ, ЮФП

x = (A b) { ФПЮОПЕ ТЕЫЕОЙЕ УЙУФЕНЩ Й РПФПНХ x = (A b) { ПФПВТБЦЕОЙЕ ОБ

ЛМБУУЕ ОЕЧЩТПЦДЕООЩИ НБФТЙГ (x =

A

;1

^

- ФПФ ЦЕ БМЗПТЙФН, ТЕБ-

b). рХУФШ

МЙЪПЧБООЩК ОБ ТЕБМШОПК ЧЩЮЙУМЙФЕМШОПК УЙУФЕНЕ. ч ТЕЪХМШФБФЕ ЕЗП РТПЧЕДЕОЙС

РПМХЮЕОП РТЙВМЙЦЕООПЕ ТЕЫЕОЙЕ

^

^

x^ = (A b) . пРТЕДЕМЙН НБФТЙГХ

A Й ЧЕЛФПТ

^

^ ^

^

^;1

x^), Ô.Å. x^ СЧМСЕФУС ФПЮОЩН ТЕЫЕОЙЕН УЙУФЕНЩ

b

ЙЪ ХУМПЧЙС x^ = (A b)

(b

= A

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x3. пыйвлй ч теыеойси мйоекощи уйуфен

14

ъДЕУШ

kx ; x^k

ОБЪЩЧБЕФУС ПФОПУЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФША Ч ТЕЫЕОЙЙ x ,

kEk

kxk

kAk

ОБЪЩЧБЕФУС ПФОПУЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФША Ч НБФТЙГЕ A , kek ОБЪЩЧБЕФУС ÏÔ-

ОПУЙФЕМШОПК РПЗТЕЫОПУФША Ч РТБЧПК ЮБУФЙ b .

kbk

ЦЕООЩИ НБФТЙГ kAk2 = (A) = j max(A)j, kA;1k2 = (A;1) = j max(A;1)j =

max(A)

j min(A)j. рПЬФПНХ (A) = kAk kA;1k = min(A) .

л.а.вПЗБЮЕЧ

фПЮОЩЕ НЕФПДЩ ТЕЫЕОЙС МЙОЕКОЩИ УЙУФЕН

x4. нефпд збхууб

15

5. дМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ A

2 Mn ЮЙУМП ПВХУМПЧМЕООПУФЙ ПФОПУЙФЕМШОП МАВПК

НБФТЙЮОПК ОПТНЩ (A)

max(A)

min(A) .

дПЛБЪБФЕМШУФЧП ЧЩФЕЛБЕФ ЙЪ МЕННЩ 1.4:

k

A

k

(A) =

j

max(A)

,

k

A;1

k

j

(A;1) = j max(A;1)j = j min(A)jR РПЬФПНХ

(A) = kAk kA;1k

max(A)

min(A) .

6. дМС ЧУСЛПК НБФТЙГЩ A

2

Mn Й МАВЩИ ХОЙФБТОЩИ (ПТФПЗПОБМШОЩИ) НБФТЙГ