15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

Кроме МО, в теории вероятностей используется еще ряд ЧХ различного назначения. Среди них основную роль играют моменты – начальные и центральные.

Определение. Начальным моментом -го порядка СВ называется МО -ой степени этой СВ:

, (2.9) если МО существует.

Как правило, используют начальные моменты целого положительного порядка. В частности, при имеем , а при .

Определение. Центральным моментом -го порядка СВ называется МО -ой степени отклонения этой СВ от ее МО: , (2.10) если МО существует.

СВ называется центрированной СВ (так как ). Таким образом, центральный момент – это начальный момент для центрированной СВ: .

Аналогично начальным моментам, центральные моменты обычно используют целого положительного порядка.

В частности, при имеем для всех СВ.

Особое значение для практики имеет второй центральный момент , который называется дисперсией СВ и обозначается .

Определение. Дисперсией СВ называется МО квадрата отклонения СВ от ее МО: . (2.11)

Для дисперсии справедливо также следующее выражение:

. (2.12)

Дисперсия характеризует степень разброса (рассеивания) значений СВ относительно ее среднего значения (МО). Чем плотнее группируются значения СВ около МО, тем дисперсия меньше (ср. со смыслом параметра в нормальном законе распределения).

Механическая интерпретация дисперсии. Дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (центра тяжести, МО).

Свойства дисперсии

1. , тогда и только тогда, когда . Свойство следует из свойства 4 МО .

2. Дисперсия не изменяется при прибавлении к СВ константы: .

.

3. Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом: .

.

Дисперсия имеет размерность квадрата СВ. Характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью СВ, является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), определяемое как корень арифметический из дисперсии: .

С учетом данного определения часто пишут: .

Другие используемые на практике ЧХ.

Величина , определяемая равенством , называется - квантилем распределения СВ .

Квантиль называется медианой распределения СВ . Другими словами, медиана – это значение на числовой прямой, для которого

Модой распределения НСВ называется число , при котором ПВ достигает максимального значения. Распределения с одной модой называются унимодальными, а распределения с несколькими модами – мультимодальными.

Для симметричных распределений медиана, мода и МО совпадают.

16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин

1. Индикаторная СВ.

	0	1
	q	p

Индикаторная СВ имеет вид: а ее ЗР:

где .

Найдем МО и дисперсию этой СВ.

. .

2. Биномиальная СВ .

Множество возможных значений биномиальной СВ ,

а вероятности, определяются по формуле Бернулли: .

.

.

.

3. Геометрическая СВ .

Множество возможных значений геометрической СВ ,

а вероятности значений определяются по формуле: .

. .

Заметим, что ряд представляет собой результат дифференцирования по геометрической прогрессии . Поэтому .

.

Заметим теперь, что при нахождении МО было получено, что . Поэтому

.

Теперь для дисперсии СВ получаем выражение: .

4. Пуассоновская СВ .

Множество возможных значений пуассоновской СВ ,

а вероятности задаются формулой: .

. .

5. Равномерная СВ .

ПВ СВ , равномерно распределенной на отрезке , имеет вид:

. .

.

.

6. Показательная (экспоненциальная) СВ .

ПВ показательно распределенной СВ имеет вид:

. .

.

7. Нормальная (гауссовская) СВ .

ПВ нормально распределенной с параметрами СВ имеет вид:

.

.

8. СВ, имеющая распределение Коши.

СВ , распределенная по закону Коши, имеет ПВ вида: .

.

В связи с этим проверим выполнения условие существования МО, а именно абсолютную сходимость интеграла . .

Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у СВ, распределенной по закону Коши, МО не существует. А, следовательно, у данной СВ не существует дисперсия и другие моменты более высоких порядков.