25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
Определение. СВ
и
,
для которых корреляционный момент
,
называются некоррелированными.
Учитывая, что
,
получаем: СВ
и
являются некоррелированными тогда и
только тогда, когда
.
Отсюда и из т2 вытекает, что из независимости
СВ всегда следует их некоррелированность.
Обратное, вообще говоря, неверно. Можно
только сказать, что если СВ являются
коррелированными, так, что
,
то они являются зависимыми.
Пример.
Равномерное распределение в круге .
Ранее были найдены одномерные ПВ координат вектора :
и установлено, что СВ
и
являются зависимыми, так как
.
Найдем корреляционный момент
СВ
и
.
По аналогичным соображениям
Найдем
.
Таким образом, и, следовательно, СВ и являются зависимыми, но некоррелированными.
Понятие некоррелированности СВ играет важную роль в теории вероятностей. Подтверждением тому является следующая теорема.
Теорема 3 (теорема сложения дисперсий).
Для любых действительных чисел
и любых СВ
и
,
имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если
и СВ
и
являются некоррелированными, то имеет
место свойство аддитивности дисперсии:
.
▲ Доказательство теоремы основано
только на свойствах МО и определении
корреляционного момента
:
.■.
По индукции утверждение теоремы 3 обобщается на линейную комбинацию любого конечного числа СВ следующим образом.
Для любых действительных чисел
и СВ
,
имеющих конечную дисперсию
.
В частности, если все
,
а СВ
являются попарно некоррелированными
(
),
то имеет место свойство аддитивности
дисперсии:
.
26. Коэффициент корреляции его свойства
Значение корреляционного момента
зависит от единиц измерения СВ
и
.
Безразмерным аналогом
является коэффициент корреляции,
определяемый формулой:
,
где
- средние квадратические отклонения СВ
и
.
Свойства коэффициента корреляции.
,
если СВ
и
являются независимыми. (очевидно, так
как в этом случае
).
.
В соответствии со свойством 1 дисперсии
.
Положим
.
Тогда
,
Откуда
.
Следовательно,
,
или, эквивалентно,
.■.
тттк СВ
и
связаны линейной зависимостью, то есть
существуют действительные числа А
и В такие, что
.
▲ Необходимость. Предположим, что
.
Тогда
и из доказательства свойства 2 коэффициента
корреляции следует, что
при
.
В соответствии со свойством 1 дисперсии
это означает, что
,
откуда
и значит
.
Достаточность. Пусть
.
Тогда
,
а корреляционный момент СВ
и
равен
.
П
оэтому 
■.
Итак, для независимых СВ и достигает максимального по модулю значения для сильно (линейно) зависимых СВ. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между СВ.
Геометрическая иллюстрация: чем больше
по модулю
,
тем плотнее значения
располагаются вдоль некоторой прямой.
– вероятностный смысл?...