17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.

Часто в вероятностных моделях случайных явлений приходится рассматривать сразу несколько СВ, причем изучение каждой СВ отдельно от других приводит к недопустимому упрощению модели. Математической моделью таких случайных явлений является понятие случайного вектора ( ).

Определение. Совокупность случайных величин , значения которых совместно описывают результат некоторого случайного явления, называется -мерным случайным вектором (многомерной СВ или системой СВ) и обозначается . При этом сами СВ , называют координатами (компонентами, составляющими) .

Исчерпывающей вероятностной характеристикой является его функция распределения (ФР). Рассмотрим случай двумерного случайного вектора , полученные результаты обобщим на случай многомерный. Двумерный обычно обозначают .

О пределение. ФР называется функция двух действительных переменных и , определяемая при каждом равенством:

. (3.1)

ФР называют также двумерной ФР или совместной ФР СВ и .

Геометрически ФР представляет собой вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке .

Свойства двумерной ФР.

1. для любых . (свойство очевидно, так как ФР - вероятность).

2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

▲ Когда один из аргументов или фиксирован, доказательство свойства 2 полностью аналогично одномерному случаю.

3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

4. ; .

▲ В силу свойства 4 вероятности

;

;

.

.

5. , где и - функции распределения координат и соответственно.

В соответствии со свойствами вероятности имеем:

;

.

6. Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

Обозначим ; ; ; .

Очевидно, что . При этом события и являются несовместными, а . Поэтому по теореме сложения вероятностей получаем:

.

Остается теперь учесть, что , , , .

Аналогичными являются определение и свойства многомерной ФР.

Определение. Функция действительных переменных, определяемая для любого равенством , называется функцией распределения случайного вектора или многомерной ( -мерной) ФР или совместной ФР СВ .

Свойства многомерной ФР.

1. для любых .

2. является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

3. является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

4. , если хотя бы один из аргументов . .

5. (Свойство согласованности). По ФР можно получить ФР любой совокупности из его координат. Для этого следует в ФР положить аргументы для .

18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора

Определение. называется дискретным (ДСВ), если множество его возможных значений конечно или счетно: или , где .

Из определения следует, что является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты , являются ДСВ.

Рассмотрим более подробно случай двумерного , принимающего конечное число значений. Для полной вероятностной характеристики такого достаточно указать все его возможные значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, (предполагается, что СВ принимает значений, а СВ принимает значений, так что у вектора возможных значений ).

			…
			…
			…
			…

Как и в одномерном случае, подобную информацию о записывают в виде таблицы, но с двумя входами:

которую называют законом распределения (ЗР)

При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то вероятности удовлетворяют условию нормировки: .

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любую область определяется по формуле: .

В частности, когда , получается следующее выражение для функции распределения : . (одномерный ).

График ФР является кусочно-постоянным со скачками в точках , являющихся его возможными значениями, величина скачков определяется .

Одномерные ЗР каждой из СВ и в отдельности являются дискретными и находятся по двумерному ЗР следующим образом:

Так как событие , то в силу аддитивности вероятности

. (3.3) где в соответствии с (3.3) вероятность получается суммированием в строке таблицы (3.2) вероятностей , . Аналогично (3.4) где в соответствии с вероятность получается суммированием в -ом столбце таблицы (3.2) вероятностей , .

Многомерный случай полностью аналогичен двумерному, только менее нагляден и имеет громоздкую индексацию. Так, ЗР определяется набором вероятностей , где - значения координаты , , .