29. Композиция (свертка) законов распределения

Часто на практике возникает задача определения ЗР СВ , являющейся суммой координат СВ . Если при этом одну из СВ интерпретировать как полезный сигнал, а вторую СВ как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».

Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.

Если - ДСВ, принимающий конечное число значений с вероятностями , , то – ДСВ и ее возможными значениями , , являются различные среди значений . Вероятности значений определяются по формуле:

, (4.10) (при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

Если - НСВ с ПВ , то СВ является непрерывной и ФР СВ имеет вид:

а, после расстановки пределов по области ,

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

(4.11) (в точках непрерывности ПВ , и ).

Если дополнительно известно, что координаты СВ являются независимыми СВ, то:

• СВ является дискретной, если и - ДСВ, и имеет ЗР, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:

, (4.12)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

• СВ является непрерывной, если и - НСВ, и имеет в соответствии с (4.11) ПВ: (4.13) где и - ПВ СВ и

• СВ является непрерывной, если - дискретная а - непрерывная СВ, и имеет ПВ: , (4.14) где и , - значения СВ и соответствующие им вероятности, а - ПВ СВ .

Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится ФР НСВ с учетом независимости СВ и :

,

а затем дифференцированием по получаем для ПВ выражение (4.14).

Задача определения ЗР суммы независимых СВ по ЗР слагаемых в теории вероятностей называется задачей композиции ЗР, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.

Замечание. Все результаты, полученные для двумерного СВ, без труда обобщаются и на многомерный случай.

Пример. Пусть , и СВ и независимы. Найти ПВ СВ .

Решение. Для простоты положим . Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:

(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)

Таким образом, СВ .

В общем случае, когда , СВ .

По индукции можно доказать, что если СВ независимы (в совокупности) и , то СВ их любая линейная комбинация также имеет нормальный ЗР:

30. Неравенство Чебышева

Получим вначале некоторые оценки для распределений СВ.

Лемма. Если неотрицательная СВ имеет конечное математическое ожидание , то для любого справедливо неравенство: .

▲ Докажем лемму для НСВ . По определению математического ожидания НСВ

■.

Следствие (неравенство Чебышева). Если СВ имеет конечную дисперсию , то для любого справедливы следующие неравенства:

; (4.15) .

▲ В соответствии с леммой ,

что доказывает неравенство (4.15).

Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое и практическое значение. Оно дает простую оценку для вероятности отклонения СВ с произвольным ЗР от ее математического ожидания. Причем, если о СВ, кроме ее математического ожидания и дисперсии ничего не известно, то эту оценку улучшить нельзя (существует пример СВ, для которой в (4.15) достигается равенство). Если же есть дополнительная информация о СВ (например, известен ее ЗР), то оценки (4.15) и могут быть существенно улучшены.

Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними

Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится по вероятности к величине (случайной или нет), если для любого или (экв)

Краткое обозначение сходимости по вероятности: .

Определение. Говорят, что последовательность СВ сходится в среднем квадратическом к величине (случайной или нет), если .

Краткое обозначение сходимости в среднем квадратическом: или

Лемма. Если последовательность СВ сходится к величине в среднем квадратическом, то она сходится к этой величине и по вероятности: .

▲ В силу неравенства Чебышева .

Поэтому, если , то и, следовательно, для любого , поскольку вероятность не может быть отрицательной (лемма о двух милиционерах) ■.

Смысл леммы: сходимость в среднем квадратическом является более сильной, чем сходимость по вероятности. Обратное неверно: из сходимости по вероятности сходимость в среднем квадратическом не следует.

Смысл введенных видов сходимостей последовательностей СВ: понятие предела определено только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована. Это делается либо с помощью вероятности, либо с помощью математического ожидания со своим понятием близости между и .