20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
Говорят, что
имеет равномерное распределение в
области
,
если его ПВ постоянна внутри области
:
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
,
то есть
,
где
- площадь области
.
а) Равномерное распределение в прямоугольнике.
Н
епрерывный
случайный вектор
имеет равномерное распределение в
прямоугольнике
со сторонами, параллельными осям
координат, если его плотность вероятностей
имеет вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной
ПВ
.
Таким образом,
то есть
.
Аналогично,
.
Таким образом,
то есть
.
б) Равномерное распределение в круге.
Н
епрерывный
случайный вектор
имеет равномерное распределение в круге
,
если его плотность вероятностей имеет
вид:
Найдем одномерные ПВ координат .
В соответствии со свойством 4 двумерной ПВ
.
Таким образом,
Аналогично
.
Таким образом,
21. Независимость случайных величин
Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость СВ и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими СВ.
Определение. СВ
и
называются независимыми, если для
любых
имеет место равенство:
или,
.
(3.9)
Если при каких-либо равенство (3.9) не выполняется, то СВ и являются зависимыми.
Таким образом, независимость СВ означает, что их совместная ФР равна произведению одномерных ФР и , или, как еще говорят, двумерная ФР факторизуется.
Установим условия независимости СВ в дискретном и непрерывном случаях.
Лемма 1. Пусть
-ДСВ, принимающий значения
с вероятностями
,
;
,
- вероятности
,
- вероятности
.
ДСВ
и
являются независимыми тогда и только
тогда, когда при всех
и
,
(3.10)
то есть вероятность факторизуется.(опр-е незав-ти дсв)
Если при каких-либо и равенство (3.10) не выполняется, то ДСВ и являются зависимыми.
Н
еобходимость.
Пусть дискретные случайные величины
и
являются независимыми. Тогда
для любых
.
Обозначим
прямоугольник со сторонами, параллельными
осям координат, который содержит точку
и не содержит других значений ДСВ
.
Тогда
(по построению
)
=
=
(по свойству 4) =
=
(в силу независимости случайных величин)
=
(по построению
),
то есть , и так можно сделать для любого значения .
Достаточность. Если выполняется
равенство (3.10), то в соответствии с
определениями ФР
,
имеем:
,
то есть ДСВ
и
являются независимыми ■.
Лемма 2. Пусть
-
,
- его ПВ,
и
- одномерные ПВ его координат, определяемые
по формулам
(3.8).
НСВ
и
являются независимыми ттт,к
(3.11) (опр-е нез-ти нсв)
для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная ПВ факторизуется.
▲ Необходимость. Если НСВ и являются независимыми, то .
Дифференцируя это равенство по
и по
,
получаем:
и, следовательно, в соответствии с определениями ПВ , и , справедливо равенство: в точках непрерывности функций и .
Достаточность. Проинтегрируем
равенство (3.11) по первому аргументу в
пределах от
до
и по второму аргументу в пределах от
до
.
В результате получаем:
.
и, следовательно, в соответствии с
определениями ФР
,
и
для любых
справедливо равенство:
,
то есть СВ и являются независимыми ■.
Леммы 1 и 2 показывают, что, если СВ и являются независимыми, то двумерный ЗР полностью определяется одномерными ЗР его координат (то есть понятие в этом случае вырождается).
Определение. СВ
называются независимыми в совокупности,
если для любого
,
для любого набора индексов
и для любых
или
,
где
– ФР СВ
,
то есть многомерная ФР
факторизуется.
Для независимости в совокупности
непрерывных случайных величин
,
имеющих плотности вероятностей
,
необходимо и достаточно, чтобы
,
во всех точках непрерывности функций
и
,
.