27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение

Нормальное распределение в одномерном случае задается ПВ вида:

, причем параметры ,

Определение. Говорят, что имеет многомерное нормальное (гауссовское) распределение, если его ПВ имеет вид:

, (3.19)

где - математическое ожидание ; - корреляционная матрица ; - определитель корреляционной матрицы (предполагается, что ); – алгебраическое дополнение к элементу матрицы (так, что - элемент матрицы, обратной к ).

для многомерной нормальной ПВ в векторной форме: ,

где верхний индекс «Т» означает знак транспонирования.

Из выражения (3.19) для ПВ видно, что нормальный закон распределения полностью определяется моментами первых двух порядков: математическими ожиданиями , дисперсиями и корреляционными моментами .

Если и его координаты являются попарно некоррелированными СВ, то есть , то корреляционная матрица и обратная к ней являются диагональными , .

Поэтому из (3.19) следует, что

, где - ПВ одномерного нормального распределения с параметрами . Но это означает независимость СВ .

Таким образом, для нормально распределенных СВ понятия независимости и некоррелированности совпадают (эквивалентны).

Другие замечательные свойства многомерного нормального распределения. :

1. Все координаты имеют одномерные нормальные распределения:

2. Все условные ЗР являются нормальными

3. Если координаты являются независимыми СВ, то любая их линейная комбинация также является нормальной СВ:

Рассмотрим подробнее случай . Пусть - , у которого . В этом случае корреляционная матрица имеет вид: , а определитель корреляционной матрицы .

Поэтому ПВ двумерного нормального имеет вид:

.

Д ля двумерного нормального используется краткая запись: (зависит от пяти параметров). График двумерной ПВ имеет вид:

Линиями уровня являются эллипсы:

Найдем одномерные ПВ и координат .

,

то есть .

Аналогично, , то есть .

Таким образом, у двумерного нормального одномерные законы распределения всегда являются нормальными.

Найдем условные ЗР, если .

Из полученного вида условной ПВ следует, что она является ПВ нормального ЗР с параметрами и .

Полностью аналогично получаем, что условная ПВ

является ПВ нормального ЗР с параметрами

и .

Таким образом, если - двумерный нормальный , то условные математические ожидания и являются линейными функциями условия (или, другими словами, в нормальном случае уравнения регрессии являются линейными), а условные дисперсии и являются постоянными величинами.

28. Функции случайных аргументов

Пусть - , ЗР которого известен, и - неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений вектора . Рассмотрим СВ . Известно, что для нахождения числовых характеристик СВ достаточно знать только ЗР . Однако, во многих приложениях, особенно в математической статистике, необходимо уметь находить в явном виде ЗР СВ Y, являющейся функцией случайных аргументов. Рассмотрим вначале задачу нахождения ЗР СВ Y в одномерном случае ( ).

Функции от случайных величин

Дискретный случай. Пусть – ДСВ, принимающая значения с вероятностями . Тогда для произвольной неслучайной функции , область определения которой содержит множество возможных значений СВ , СВ является дискретной и задача состоит в нахождении ее ЗР.

а ) Предположим вначале, что все значения различны. Тогда случайная величина будет иметь столько же возможных значений , как и случайная величина , с и при этом

. (4.1)

Таким образом, ЗР СВ имеет вид: где в соответствии с

(4.1) вероятность .

б ) Предположим теперь, что среди значений есть совпадающие (это может быть, в частности, если функция не является монотонной в области в озможных значений случайной величины ). Тогда случайная величина будет иметь меньше возможных значений, чем случайная величина , и ими являются , , различные среди . При этом вероятности значений определяются по формуле:

, (4.2)

ЗР СВ в данном случае имеет вид:

где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностей тех значений , для которых . , .

Непрерывный случай. Если – НСВ с ПВ , а – дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величины Х. Тогда величина является непрерывной СВ и задача состоит в нахождение ПВ .

Предположим вначале, что - монотонно возрастающая функция в области возможных значений СВ Х. Тогда у функции существует однозначная обратная функция и ФР СВ можно записать в виде: .

Дифференцируя обе части полученного равенства по , получаем:

. (4.3)

Для монотонно убывающей в области возможных значений СВ Х функции

,

а после дифференцирования по обеих частей этого равенства

. (4.4)

Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:

Если – НСВ с ПВ , а – монотонная дифференцируемая функция, то СВ является непрерывной и ее ПВ определяется через по формуле:

, (4.5) где – функция, обратная к функции .

Е сли дифференцируемая функция не является монотонной в области возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить на непересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию . Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:

. (4.6)

Функции от случайных векторов

Пусть – двумерный СВ с заданным ЗР и СВ , где – неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора . Рассмотрим задачу нахождения ЗР СВ .

Пусть –ДСВ, принимающий конечное число значений с вероятностями , . Тогда – ДСВ и ее возможными значениями , являются различные среди значений ( может быть). При этом вероятности значений аналогично одномерному случаю определяются по формуле:

, . (4.8) Если – НСВ с ПВ , то является НСВ, если функция дифференцируема по каждому из своих аргументов. При этом ФР СВ определяется формулой:

, (4.9) а ПВ находится дифференцированием по .