19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
Определение.
называется непрерывным (
)
(или имеющим непрерывный закон
распределения), если существует такая
функция
,
двух действительных переменных, что
для любой точки
ФР
допускает представление:
.(3.5)
Функция
при этом называется плотностью
вероятностей
ПВ непрерывна на всей плоскости, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Из определения (3.5) следует:
ФР является непрерывной по и по (как двойной интеграл);
2. ФР является дифференцируемой по и по во всех точках , являющихся точками непрерывности двумерной ПВ , и при этом имеет место равенство:
(3.6) (по свойствам двойного интеграла с
переменными верхними пределами).
Вероятностный смысл двумерной ПВ.
Из (3.6), определения производной и свойства 6 двумерной ФР получаем, что
.
Таким образом, плотность вероятностей
- это предел отношения вероятности
попадания непрерывного случайного
вектора
в прямоугольник со сторонами
и
,
параллельными осям координат, к площади
этого прямоугольника, когда длины обеих
сторон стремятся к нулю.
При малых
и
можно также записать, что
.
(3.7)
Свойства плотности вероятностей случайного вектора :
1.
.
Поскольку ФР
является неубывающей функцией по каждому
из своих аргументов, то ее производная
из равенства (3.6) ■.
2.
- условие нормировки. Из представления
(3.5) следует, что
,
а в соответствии со свойством 4 двумерной
ФР
■.
3. Вероятность попадания
в любую область
определяется формулой:
.
Разобъем множество
на
элементарных непересекающихся
прямоугольников
со сторонами, параллельными осям
координат и равными
и
,
.
Так как в соответствии с (3.7)
и
,
то в силу аддитивности вероятности
имеем:
.
Последняя сумма является интегральной,
и поэтому предельный переход при
приводит к равенству
■.
4. Координаты
с ПВ
являются НСВ с ПВ
соответственно (маргинальные ПВ),
определяемыми формулами:
,
(3.8)
в точках непрерывности функций
и
Из представления (3.5) следует, что
.
Дифференцируя обе части этого равенства
по
,
в точках непрерывности функций
и
получаем:
.
Аналогично,
и после дифференцирования обеих частей
последнего равенства по
,
имеем:
в точках непрерывности функций и .
Все приведенные выше определения и формулы для двумерного легко обобщаются на случай -мерного случайного вектора .
Определение.
называется непрерывным (
),
если существует такая функция
действительных переменных, что для
любой точки
ФР
допускает представление:
.
Функция при этом называется плотностью вероятностей (ПВ) или многомерной ( -мерной) ПВ, или совместной ПВ СВ .
Во всех точках
,
являющихся точками непрерывности ПВ
,
имеет место равенство:
.
Свойства многомерной плотности вероятностей :
1.
.
2.
- условие нормировки.
3. Вероятность попадания случайного
вектора
в любую область
определяется формулой:
;
4. Если
-
с ПВ
,
то
при любом
также является непрерывным и имеет ПВ,
определяемую формулой:
.