1 4. Математическое ожидание св.

Рассмотрим отдельно случай ДСВ и НСВ.

Пусть - ДСВ с конечным множеством возможных значений и - вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения ДСВ:

Предположим, что над СВ произведено независимых наблюдений, в результате которых значение появилось раз, - раз,…, - раз ( ). Тогда среднее значение СВ (среднее арифметическое) по результатам наблюдений можно записать в виде: ,

где - статистическая вероятность (относительная частота) события . Известно, что при большом близка к истинной вероятности . Поэтому, если наблюдения над СВ не производятся, то за ее среднее значение целесообразно принять величину .

Определение. Математическим ожиданием ДСВ , принимающей значения с вероятностями , называется величина , (2.7)

если ряд в правой части абсолютно сходится: .

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у ДСВ не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений ДСВ бесконечно (но счетно). У ДСВ, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь - НСВ с ПВ . Для определения МО построим следующую ДСВ , аппроксимирующую НСВ .

Для некоторого рассмотрим точки вида на числовой прямой и положим

, если , .

СВ принимает значения с вероятностями

(при малом ), .

При любом и при ДСВ все точнее аппроксимирует НСВ . При этом

, если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для , который и следует считать МО НСВ .

Определение. Математическим ожиданием НСВ с плотностью вероятностей называется величина ,(2.8) если интеграл в правой части абсолютно сходится: .

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у НСВ не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для МО ДСВ и НСВ можно объединить в одну, записав МО в виде

, где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по ФР

3Механическая интерпретация МО. Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то МО – координата центра тяжести (центра масс).

Г еометрическая интерпретация МО. МО – среднее значение СВ, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо МО СВ говорят среднее СВ ).

Свойства МО.

1. МО постоянной равно этой постоянной: .

2. Постоянная выносится за знак МО: .

3. МО суммы любых СВ и равно сумме их МО: . из свойств линейности рядов и интегралов ■.

4. Если , то и . Если и при этом , то . из определения МО для ДСВ и НСВ ■.

Следствие. Если , то . Достаточно применить свойство 4 к СВ ■.

5. Следует из того, что для любого . Поэтому в силу свойства 4 МО , то есть