10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.

Определение. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее возможных значений конечно или счетно: или .

Для полной вероятностной характеристики ДСВ достаточно указать все ее возможное значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, . При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то (условие нормировки). Подобную информацию о ДСВ записывают в виде таблицы:

						(2.1)

которую называют законом распределения (ЗР) ДСВ или рядом распределения.

ЗР является более удобной и наглядной вероятностной характеристикой, чем ФР, и его задание полностью эквивалентно заданию ФР.

Действительно, ФР ДСВ определяется по ЗР (2.1) с помощью формулы: . (2.2)

В случае конечного числа значений ДСВ подробнее формула (2.2) выглядит следующим образом:

График ФР ДСВ является кусочно-постоянным со скачками в точках равными , . Это означает, что ЗР (2.1) по ФР (2.2) всегда можно однозначно восстановить.

Вероятность попадания ДСВ в любое множество В на числовой прямой определяется по формуле: .

Отметим, что через ФР вероятность в явном виде может и не выражаться.

	С
	1

11. Важнейшие дискретные СВ и их законы распределения

1. Вырожденная СВ. Любую константу С можно рассматривать как СВ, принимающую одно значение: для любого . Закон распределения вырожденной СВ имеет вид:

Выражение для ФР вырожденной СВ и ее график также имеют вырожденный вид:

2. Индикаторная СВ. С любым случайным событием А можно связать СВ вида: .

Случайная величина называется индикатором случайного события А или индикаторной СВ. Она принимает только два значения и , при этом , .

	0	1
	q	p

З акон распределения индикаторной СВ имеет вид:

3

x

. Биномиальная СВ. Биномиальной называется ДСВ , представляющая собой число успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Множество возможных значений биномиальной СВ: .

Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:

	0	1		n

.

Закон распределения имеет вид: и называется биномиальным законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона: . Сокращенная запись для биномиальной СВ: .

4. Геометрическая СВ. Геометрической называется ДСВ , представляющая собой число испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.

Геометрическая СВ имеет счетное множество возможных значений: .

Вероятности значений определяются по формуле: .

	1	2		n

Закон распределения имеет вид:

и называется геометрическим законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .

Сокращенная запись для геометрической СВ: .

	0	1		n

5. Пуассоновская СВ. Пуассоновской называется целочисленная СВ, множество возможных значений которой , а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой: .

Число называется параметром пуассоновской СВ.

Закон распределения имеет вид:

и называется пуассоновским законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

. Сокращенная запись для пуассоновской СВ: .