8. Схема независимых испытаний Бернулли

Предположим, что некоторый эксперимент может повторяться при неизменных условиях сколько угодно раз, и эти повторения не зависят друг от друга. В этом случае говорят о проведении последовательности независимых испытаний. События являются независимыми в совокупности.

Простейшей является последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода: успех – У (1) и неуспех – Н (0). Последовательность независимых испытаний с двумя исходами называется схемой независимых испытаний Бернулли.

Обозначим вероятность успеха , а вероятность неуспеха .

При проведении n независимых испытаний по схеме Бернулли пространство элементарных событий имеет вид: ,

а вероятности элементарных событий в силу независимости испытаний вычисляются по формуле:

, то есть -.

В связи с рассмотрением схемы независимых испытаний Бернулли обычно представляют интерес события ={В n испытаниях наступило ровно m успехов}= = .

Обозначим вероятность и вычислим ее. Поскольку для любого вероятность , а общее количество исходов, содержащихся в , равно числу способов размещения m единиц в последовательности длины n из нулей и единиц, то . Таким образом,

.

Полученная формула называется формулой Бернулли. Она даёт выражение для вероятности наступления m успехов в n независимых испытаниях по схеме Бернулли с неизменной вероятностью успеха в одном испытании равной p и с вероятностью неуспеха равной q = 1 – p.

Поскольку события образуют полную группу событий, то . Тот же результат можно получить и на основании бинома Ньютона:

Исследуем поведение вероятностей в зависимости от m. Для этого вычислим отношение:

.

Отсюда следует, что вероятности возрастают, когда или, что эквивалентно, .

Вероятности убывают, когда или, что эквивалентно, .

И, наконец, , если .

Определение. Число успехов m = m₀, при котором вероятности достигают максимума, называются наивероятнейшим числом успехов.

Из проведённых рассуждений следует, что наивероятнейшее число успехов m₀ определяется из двойного неравенства: . При этом:

1. Если число нецелое, то существует одно наивероятнейшее число успехов: .

2. Если число целое, то существует два наивероятнейших числа успехов: и .

3. Если число целое, то .

Вычисления по формуле Бернулли при больших m и n весьма трудоёмкие. На практике в этом случае используют асимптотические приближения для вероятностей , основанные на предельных теоремах Пуассона и Муавра-Лапласа.

9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Случайная величина (СВ) – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями. Примеры СВ:

а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);

б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);

в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).

Обозначают СВ прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….

Формальное определение СВ.

Определение. Случайной величиной называется функция X = X(ω), определенная на пространстве элементарных событий и принимающая действительные значения ( ).

Для того, чтобы определять вероятности событий, связанных со СВ, и делать это одним и тем же способом для любых СВ, в теории вероятностей вводится понятие функции распределения.

Определение. Функцией распределения СВ называется функция действительной переменной , определяемая при каждом х равенством: .

Геометрически функция распределения (ФР) означает вероятность попадания СВ левее заданной точки :

Свойства ФР.

1. для любого (свойство очевидно, так как - вероятность).

2. ФР является функцией неубывающей: .

▲ . Поэтому в силу свойства 6 вероятности ■.

3. . в силу свойства 5 вероятности.

в силу аксиомы нормированности ■.

4. ФР является функцией непрерывной слева, то есть для любого ,

где - предел слева ФР в точке х.

5. Для любого , где - предел справа ФР в точке х.

З амечание. Геометрически свойства 4 и 5 означают следующее. В точках , где ФР имеет разрыв 1 рода, то есть когда , значением ФР является левое (нижнее, меньшее). В точках непрерывности ФР свойства 4 и 5 содержательными не являются.

6. Вероятность попадания СВ в интервал определяется как приращение ФР на этом интервале: для любых .

▲ Поскольку событие и слагаемые в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности или ■.

7. Для любого , где - величина скачка ФР в точке .

▲ Поскольку событие и слагаемые в сумме являются несовместными, то в силу аддитивности вероятности ,

а с учетом свойства 5 ФР ■.

С ледствие. Если ФР непрерывна в точке , то . Если ФР непрерывна для любого , то для любого .

8. . 9. .

10. .

В общем случае график ФР может иметь вид:

В приложениях, как правило, встречаются СВ, ФР которых являются либо везде кусочно-постоянными (дискретные СВ), либо везде непрерывными и даже гладкими (непрерывные СВ). В каждом из этих случаев существуют более удобные, чем ФР, вероятностные характеристики СВ.