Раздел 1 Булевы функции
Элементарные булевы функции от двух переменных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-конъюнкция
(логическое умножение)
-дизъюнкция
(логическое сложение)
-сумма
по модулю 2
,
т.е.
-импликация
-эквивалентность
-штрих
Шеффера (антиконъюнкция)
-стрелка
Пирса (антидизъюнкция)
Таблицы, в которых представлены значения булевых функций, называются таблицами истинности.
Опред.: Суперпозицией булевых функций
называется функция
,
полученная с помощью подстановок функций
друг в друга и переименованием переменных.
Выражение, описывающее эту суперпозицию, называется формулой алгебры логики.
Опред.: Формулы и называются эквивалентными, если соответствующие им функции равны.
Если функция соответствует формуле , то говорят, что формула реализует функцию .
Пример:
-суперпозиция
-формула
Несмотря на то, что каждой формуле соответствует какая-либо булева функция, понятия функции и формулы различны.
Формул бесконечно много, а функций – конечное число.
Свойства элементарных булевых функций
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Взаимодействие с
Двойное отрицание
Законы де Моргана
Законы поглощения
Выражение эквивалентности через другие операции
Выражение
через другие операции
Выражение импликации через другие операции
В справедливости можно убедиться, построив таблицы истинности этих формул.
Пример:
-
000
0
0
0
0
0
001
1
0
0
0
0
010
1
0
0
0
0
011
0
0
0
0
0
100
0
0
0
0
0
101
1
1
0
1
1
110
1
1
1
0
1
111
0
0
1
1
0
С помощью законов алгебры логики можно упрощать исходные формулы и получать новые.
Если в выражении нет скобок, то очередность логических операций следующая:
отрицание
Упражнения
Определить какие переменные являются фиктивными
-
000
0
1
001
1
1
010
0
0
011
1
0
100
1
1
101
0
1
110
1
1
111
0
1
По заданным суперпозициям написать формулы, реализующие
;
составить табл. истин.
Опираясь на законы проверить справедливость соотношений
а)
б)
Опред.: Функция, равносильная своей двойственной, называется самодвойственной.
показать,
что является самодвойственной
В таблице истинности на всех парах противоположных наборов самодвойственная функция принимает противоположное значение.
Теорема двойственности
Если
реализована формулой
,
то формула
реализует функцию
.
Доказательство:
Принцип двойственности
Пусть функция
задана формулой через
.
Для того, чтобы получить формулу,
реализующую
,
достаточно заменить
на
,
на
,
все константы на противоположные
константы, функции
и
сохранить.
Двойственность функции
Опред.: Пусть
булева
функция, тогда
такая, что
называется двойственной к функции
.
Примеры:
Таблица истинности для
при упорядоченном наборе значений
переменной получается из таблицы для
построением
и переворачиванием столбца значений
от
.
-
000
1
0
0
001
1
0
1
010
1
0
0
011
1
0
0
100
1
0
0
101
1
0
0
110
0
1
0
111
1
0
0
Доказательство:
Рассмотрим значение формулы в правой
части на наборе значений
Все конъюнкции, в которых
равны
,
их можно опустить, поэтому в дизъюнкции
останется одно слагаемое
Так как набор значений переменной выбран произвольно, то формула верна всегда.
Следствие 1:
Следствие 2:
СДНФ
Теорема: Всякая булева функция имеет единственное СДНФ.
Доказательство:
Пример:
1)
2)
