Введение
Д/м – сравнительно новое направление в математике, объединяющее отдельные её разделы, сформированные ранее как самостоятельные теории.
К ним относятся математическая логика и теории множеств, графов, кодирования и автоматов.
Все эти различные на первый взгляд теории изучают свойства абстрактных дискретных объектов, различных структур, имеющих конечный характер.
Литература
Р. Хаггарти «Дискретная математика для программ»
Ф. А. Новиков
О. П. Кузнецов, Г. М. Адельсон – Вельский «Дискретная математика для инженеров»
С. В. Яблонский «Введение в дискретную математику»
О. Оре «Теория графов»
Ф. Хараре «Теория графов»
А. Гилл «Введение в теорию автоматов»
Р. В. Белова «Элементы теории конечных автоматов» ГГУ,1987(учебное пособие)
В. Е. Алексеев, Р. В. Белова «Ограниченно – детермин. ф-и» (ГГУ,1983)
Раздел 1 Теория множеств
Понятие множества
Основоположник – немецкий математик Георг Кантор, 1823.
Множество – одно из базовых, основных понятий математики.
Интуитивно, множество – это совокупность объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или мыслью.
Нельзя: множество капель в стакане.
Объекты должны различаться.
Объекты, составляющие множество, называются элементами.
–
элементы множества
–
множества
(элемент
принадлежит множеству
)
Определение: Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным.
Число элементов конечного множества
называется мощностью множества
.
Определение: Множество, не содержащее
элементов, называется пустым
.
Способы задания множеств
Задание полного списка элементов
-
некорректное задание
Все элементы различны
Порядок элементов не существенен
Указание некоторого характерного свойства
Множество нечётных чисел
Известные числовые множества:
1)
-
множество натуральных чисел
2)
-
множество целых чисел
-
целые положительные
3)
-
рациональные числа
4)
-
действительные числа
5)
-
комплексные
Отношения между множествами
1) Определение: Множества
и
равны тогда и только тогда, когда они
состоят из одних и тех же элементов.
Пример:
- множество всех положительных четных
- множество положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел.
Доказательство:
1) Пусть
=>
Пусть
=>
=>
2) Элементами множества могут быть сами множества
3) Отношение включения
Определение: Если каждый элемент множества является элементом множества ,то говорят, что множество включено в множество :
Если
,
но
,
то
строго включено
:
(
-
собственное истинное подмножество).
Пример:
Свойства включения:
1.
2.
=>
3.
=>
Доказательство 2.
Пусть
=>
(так
как
)
=>
(
)
=>
(по
определению включения)
4) Сравнимость множеств
Определение: Множества
и
сравнимы, если
.
Пример:
=> и - сравнимы
и , и - несравнимы
Подмножества
Определение: Подмножеством множества
называется любое множество
,
включающееся в множество
.
Каждое множество
имеет по крайней мере два различных
подмножества:
и
.
Кроме этого каждый элемент множества определяет некоторое подмножество
=>
Множество всех подмножеств
Теорема:
Доказательство (ММИ):
1
1)
|
2)
|
3)
|
2 Предположим, что формула верна для
множества
3
=>
,что
требовалось доказать.
Диаграмма Венна – Эйлера
Используется для графической иллюстрации.
Определение: Множество
называется универсальным для данной
задачи, если все рассматриваемые в этой
задаче множества являются его
подмножествами.
Диаграммы Эйлера 1-го типа:
|
|
|
Диаграммы Венна 2-го типа:
для 1-го множества:
для 2-х множеств:
для 3-х множеств:
Пример
Операции над множествами
1.Пересечение
2.Объединение
3.Разность (относительное дополнение)
\
\
4.Дополнение (абсолютное)
|
\
5.Симметр. разность
\
Законы алгебры множеств
Алгебра множеств – совокупность
тождеств, справедливых независимо от
того, каково универсальное множество
и какие именно подмножества обозначаются
входящими в эти равенства буквами
(отличных от
и
).
Закон коммутативности
1)
2)
3)
Закон ассоциативности
1)
2)
3)
Закон дистрибутивности
1)
2)
1 способ (с пом. диагр.)
|
|
|
||
|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 способ (поэлементное)
1)
2)
или
Взаимодействие с самим множеством и его дополнением
1)
2)
3)
4)
Свойства нуля и единицы
1)
2)
3)
4)
Равенства алгебры множеств, полученное
из другого заменой
6. Законы поглощения
называется
двойственным
1)
2)
7. Дополнение к и
1)
2)
8. Закон двойного дополнения
9. Признаки и
1) Если для
то
2) Если для
то
10. Законы де Моргана
1)
2)
11. Признак дополнения
Если
то
(или
)
12. Свойства операций разности
\
1)
\
2)
\
3)
\
4)
\
Все рассмотренные законы двойственны.
Примеры:
Докажите тождества, используя законы алгебры множеств
а)
(для сокращения записи опус.
считаем что
–
более сильная операция )
б)
Упростите выражение с помощью заканов
а)
б)
\
\
в)
Обобщенные тождества алгебры множеств
1.Законы обобщенной дистрибутивности
1)
Доказательство (ММИ)
1 для
(по
доказ. выше)
2 допустим формула верна для
Докажем, что она верна для
по
доказ. В ш.1=
=
по
допущению
=
2)
2.Обобщенные законы де Моргана
1)
2)
Уравнения и системы уравнений алгебры множеств
Для решения уравнений и систем уравнений используются законы и важные утверждения:
Лемма 1
Доказательство (от противного)
1)Пусть
,
но
,
тогда
но
противоречие
2)Пусть
но
-противор.
Лемма 2
Лемма 3
Лемма 4
Решение уравнения
где
-
некоторые подмножества универса,
-неизвестное
множество
Множество
называется решением, если формулы
и
задают одно и тоже множество.
По лемме 2 уравнение приводится к виду:
При помощи тождеств уравнение приводится к виду :
,
где
-некоторые
множества
Это уравнение равносильно системе:
или
-
необходимые и достаточные условия
существ. решения
Различные решения получаются при
добавлении к «наименьшему» решению
любых подмножеств разности
\
Всего таких подмножеств -
-
число различных решений
Общее решение м. записать в параметр форме
,
где
-
произв. множество из
Пример:
\
По л.2
\
НИД:
выполняется
и
Общ. режим:
\
Число решений:
Проверка:
\
2)
(1)
(2)
НИД:
О.р.
\
Число решений:
Проверка:
3) Система м. иметь един. решение
(1)
НИД:
Кол-во решений:1
Проверка:
4) Решением системы является любое подмножество
(1)
Число решений:
С/Р. Упростить систему условий:
1)
2)
