1. Обработка результатов прямых многократных измерений.

Измерения могут быть равноточными и неравноточными.

Равноточные измерения – измерения с СИ с одинаковой точностью. На первом этапе производится определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. Определяется центр распределения, дисперсия закона распределения результатов измерений.

Таблица 1 – Стандартные аппроксимации функции распределения

Наименование функции	Сокращенное обозначение	График функции	Отношение а/
Нормальная (усеченная)	Норм.		3
Треугольная (функция Симпсона)			2,4
Трапециевидная	Трап.		2,3
Равномерная	Равн.		1,7
Антимодальная I	Ам I		1,4
Антимодальная II	Ам II		1,2
Релея (усеченная)			3,3

Чтобы определить закон распределения случайной величины строится ранжированный ряд (по возрастанию) х_1, х_2,… х_i,… х_m ,затем ряд разбивается на n интервалов, количество n определяется:

(32)

(33)

Затем строится гистограмма или полигон (зависимость частот измеренных значений от среднего значения величин, входящих в выделенный интервал).

Рисунок 6 – Построение гистограммы и полигона: – количество значений , входящих в интервал

Все х_i характеризуются средним значением середины интервалов.

(34)

Рисунок 7 – Интегральная гистограмма и полигон

Аппроксимация – приближение. Оператор сам определяет закон аппроксимации.

В качестве оценки близости распределения к тому или иному закону используется так называемый критерий согласия. Наибольшее распространение получил критерий Пирсона (хи-квадрат)

, (35)

где n_i – реальное количество значений результатов измерений в i-том интервале, N_i – теоретическое количество значений результатов измерений в i - том интервале.

= , (36)

где P_i– значение вероятности вхождения в интервал, n – общее количество результатов измерений

При критерий Пирсона имеет распределение с количеством степеней свободы

, (37)

где – количество квантилей кривой при синтезе гистограммы , равной количеству столбцов, – количество параметров (статистических), необходимых для совмещения моделей и гистограмм.

, (38)

где

(39)

Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти измерений, то его объединяют с соседним интервалом, после этого определяют число степеней свободы, и – количество интервалов после всех объединений. Выбирают уровень значимости и по таблицам находят значение и если выполняется условие , то гипотеза о соответствии реального распределения выбранной модели считается подтвержденной.

Полная оценка результатов прямых многократных измерений базируется на оценке величины центра распределения и дисперсии распределения случайной величины. Эти параметры подлежат обязательной оценке.

На практике игнорируют последнее и считают, что оно нормальное. Если распределение нормально, то корректность обработки результатов должна быть подтверждена.

Вероятность попадания в интервал при гаусовском распределении определяется с помощью табулированных функций, т.к. взять интервал не возможно.

Доверительный интервал – это интервал , в который по определению попадает истинное значение измеряемой величины.

Надежность результатов измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.

(40)

Чем больше доверительный интервал, тем надежность результатов измерений больше.

Общая погрешность многократных измерений определяется наличием независимых случайных погрешностей и системных

(41)

При бесконечно большом количестве измерений

При нормальном законе распределения величину принимают равной . Такой подход справедлив для однократного технического измерения. В качестве принимают абсолютную погрешность прибора , класс точности прибора находят из формулы (15).

При проведении многократных измерений возникает вопрос как связана точность измерений с их числом.

Существует таблица коэффициентов Стьюдента, по которой в зависимости от числа измерений и заданной определяют соответствующий коэффициент Стьюдента.

Коэффициент Стьюдента – это величина, показывающая во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал, чтобы обеспечить требуемую надежность результатов измерений.

Стандартный доверительный интервал рассматривают как точечную оценку среднеквадратичного отклонения от центра распределения :

(42)

(43)

, (44)

где – среднее арифметическое.

Количество степеней свободы f– количество элементов дискретного множества за вычетом количества используемых в определении момента величин, определенных ранее на базе элементов этого же дискретного множества (числа результатов измерений)

(45)

Оценка результатов измерений представляется в следующей форме:

, (46)

где - абсолютная погрешность.

Еще раз вернемся к оценке точности прямых однократных измерений. При проведении прямых однократных измерений будет три составляющие погрешности:

1. погрешности, обусловленные точностью прибора

2. погрешность методики измерений

3. погрешность вызванная субъективными факторами

Суммарная погрешность при однократных измерениях:

(47)

Если погрешность методическая, определяется субъективными факторами и меньше 15% от погрешности измерения, то принимается во внимание только погрешность СИ.