1. Оценка точности многократных прямых измерений.

Представим себе, что при проведении многократных измерений одной и той же величины был получен ряд некоторых значений: , где n- число измерений. В случае, если полученные значения отличаются друг от друга, то данный факт может быть интерпретирован наличием совместно или альтернативно происходящих явлений:

1). Случайное отклонение под воздействием некоторых причин каждого из измеренных значений x_i от являющегося постоянным в условиях измерений истинного значения . Причинами отклонений могут быть, например, случайные помехи, трение в узлах механических элементов измерительной системы и т.д. и т.п.

2). Измеряемая величина имеет случайный (стохастический) характер. Примером такой величины может служить величина потока воды в магистральном участке трубопровода.

В варианте 1) наилучшей оценкой является величина среднеарифметического значения :

(18)

В варианте 2) среднеарифметическая оценка , очевидно, представляет среднее измеренных значений.

Величина, имеющая случайный (стохастический) характер – это величина, которая в результате опыта принимает одно и только одно заранее неизвестное значение из множества возможных значений. Охарактеризовать случайную величину – значит задать множество ее возможных значений X и их вероятности.

Если X задано на интервале дискретных величин, необходимо определить n вероятностей:

(19)

Если область X непрерывна, то для задания ее вероятностной характеристики случайной величины x принимается функция распределения F(x).

F(x) – это вероятность случайного события X< , суть которого в том, что случайная величина лежит в интервале X.

(20)

F(x) – интегральный закон распределения – монотонная неубывающая функция от х. F(x) позволяет найти вероятность попадания x в интервал

(21)

Графическая иллюстрация для варианта нормального распределения представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 – Иллюстрация к определению вероятности вхождения случайной величины в интервал.

. (21)

Производная от интегральной – функция плотности распределения вероятности

(22)

Данная функция всегда неотрицательна. Представляет дифференциальный закон распределения.

Величина – вероятность вхождения случайной величины x в бесконечно малый интервал .

Тогда для конечного интервала биконцептуально справедливо

(22)

(23)

Распределение случайной величины принято характеризовать в компактной форме в виде числовых значений моментов случайной величины. Это важные характеристики, хотя и не исчерпывающие. Моментом порядка k называется некоторое число, определенное выражением

(24)

Момент первого порядка – математическое ожидание или среднее значение случайной величины

(25)

При достаточно большом количестве испытаний мало отличается от среднеарифметического значения случайной величины , т.е. при . Центральным моментом k-го порядка принято называть момент k-го порядка разности :

(26)

Особое значение имеет центральный момент второго порядка, который называют дисперсией

(27)

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины x вокруг ее среднего значения. Величину называют среднеквадратичным отклонением

(28)

Следует отличать величину среднеквадратичного отклонения от величины среднеквадратического значения . Последняя определяется как корень квадратный из второго начального момента распределения .

. (29)

Третий центральный момент характеризует асимметрию (скошенность) распределения, поэтому для симметричных относительно центра распределения законов он равен нулю. Часто на практике используют безразмерный коэффициент асимметрии

(30)

Четвертый центральный момент характеризует протяженность распределения. Его относительное значение называется эксцессом распределения и для разных законов он может иметь значения от единицы до бесконечности

(31)

Иногда для удобства используется понятие коэффициента эксцесса, равного , который у нормального закона имеет нулевое значение. Для менее протяженных распределений (треугольное, равномерное, арксинусоидальное), он отрицателен, а для более протяженных – положителен. Однако для классификации распределений по их форме более удобно использовать безразмерную, изменяющуюся от нуля до единицы, функцию от эксцесса, которую называют контрэксцессом.

(31а)