4. Дробный факторный эксперимент

дробных факторных экспериментов (ДФЭ), представляющих дробные реплики полного факторного эксперимента. Если ПФЭ наблюдения производятся во всех вершинах N─мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них.

Рассмотрим пример построения дробной реплики, предполагая вначале, что эффекты взаимодействий отсутствует, т. е. модель имеет вид:

При таком виде зависимости неизвестными являются четыре коэффициента, для определения которых достаточно, как минимум, четыре опыта. Рассмотрим матрицу ПФЭ типа 2³ (табл. 2.6). Для оценки коэффициентов достаточно четырех опытов (строк). Можно ли для этой цели выбрать первые четыре строки? Очевидно нет, так как видно, что в них находится только на нижнем уровне и нельзя получить информации о влиянии фактора на выходную величину. То же можно сказать и о нижних четырех строках, где фактор находится только на верхнем уровне. Можно попытаться выбрать только четные или нечетные строки полной матрицы планирования, но результат будет неудачным. Выберем строки 5, 2, 3, 8 и построим матрицу плана

,

в которой первые два столбца являются матрицей плана двухфакторного эксперимента вида 2². Следовательно, число опытов в данном плане будет N=2²=2^3—1, или N =2³•2^─1. Построенная таким образом матрица обладает тремя свойствами: ортогональностью, нормировкой и симметричностью. Но раз матрица плана обладает данными свойствами, то, следовательно, она выбрана не произвольным образом, а по какому-то расчету. Показатель степени в выражении для числа опытов (3-1) показывает дробность матрицы плана ПФЭ N=2³, т.е. дробная матрица планирования составляет полуреплику плана ПФЭ. Если сопоставить матрицу Х дробного факторного эксперимента 2^3─1 и ПФЭ 2³, то можно заметить, что переменная в точках плана удовлетворяет уравнению

которое имеет свой определенный смысл и называется генерирующим соотношением (ГС).

Таким образом, дробным факторным экспериментом ДФЭ называется эксперимент, реализующий строго определенную часть ПФЭ. Матрицу, получаемую при ДФЭ, называют дробной матрицей планирования (ДМП). Число строк ДМП в общем случае определяется соотношением

N == 2^n-p,

где п — число линейных факторов; р — показатель дробности.

Для (п - р) факторов, условно называемых основными, строится матрица полного факторного эксперимента, а для р факторов, называемых дополнительными, уровни варьирования в опытах выбираются на основании генерирующего соотношения. Генерирующее соотношение — это формальное равенство, показывающее, знаки каких основных переменных, стоящих в правой части равенства, необходимо перемножить для получения знака дополнительного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП оказалась ортогональной, нормированной и симметричной.

Исходные данные для решения данной задачи занесём в таблицу.

Три фактора , , являются основными. , .

Регрессионную зависимость необходимо определять в следующем

виде:

Первым этапом обработки результатов измерений является расчёт критерия Кохрена:

,

где - сумма дисперсий во всех точках плана.

Затем расчётное значение сравнивается с табличным

Так как , то опыт воспроизводим.

Далее рассчитываются коэффициенты регрессионной зависимости:

;

Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид:

Найдём теоретические значения для каждого из экспериментов и занесём полученные значения в таблицу. Относительную ошибку подсчитаем для каждого из x экспериментов по формуле:

.

Следующим этапом после определения коэффициентов регрессионной зависимости является оценка их значимости:

, где:

- оценка дисперсии k-го коэффициента,

- дисперсия воспроизводимости.

Если , то данный коэффициент остаётся в регрессионной зависимости. В противном случае он исключается.

- табличное значение коэффициента значимости (выбирается в зависимости от степени свободы).

=4,3.

В результате преобразований и подсчётов получим:

=390,4; =11,5; =4,8; =14,4; =7,7; =9,6.

В итоге, все шесть коэффициентов являются значимыми.

Заключительным этапом является проверка адекватности модели по критерию Фишера. Расчётное значение критерия Фишера определяется по формуле и сравнивается с табличным значением:

, где

- дисперсия адекватности,

l – число значимых факторов.

=37,5/1,66=22,6 < модель адекватна.